1821

TWORZYMY figurę utworzoną ze skończonej liczby przedziałów n- wymiarowych o wnętrzach parami rozłącznych. Objętość tej figury to suma objętości figur przedziałów.

Figura jest WPISANA w G<-» zawiera się w tym zbiorze (OPISANA gdy zawiera zbiór G). Każda figura ma miarę wewnętrzną i zewnętrzną: zewnętrzna - kres dolny objętości wszystkich możliwych figur opisanych, wewnętrzna - kres górny wpisanych.

MIARA JORDANA: (zbiór ograniczony i niepusty) jeśli miara zewnętrzna = wewnętrznej —»ta wartość to miara Jordana |G| lub m(G) —»zbiór jest MIERZALNY ZBIÓR NIEMIERZALNY w sensie Jordana —> zewnętrzna> wewnętrznej jeśli G jest mierzalny to intG też i |G|=|intG| i |8G|=0 (|8G| - miara brzegu)

DEFINICJA J n- WYMIAROWEJ: G- zbiór ograniczony, domknięty, mierzalny, f -ograniczona na G: Jeśli 3 granica IeR (skończona) dla wszystkich normalnych ciągów sum całkowych i przy dowolnym wyborze ciągów punktów pośrednich w elementach podziału to ta granica to Je fdm⁽ⁿ⁾ lfef|<=/c|f|

Jeśli f jest ograniczona i ciągła (prawie wszędzie) na G to f jest CAŁKOWALNA na G Jeśli obszar jest normalny w kierunku x i y to wynik całkowania nie zależy od przyjęcia wypukłości a do obliczania stosujemy dowolną iterację.

Uogólnieniem całkowania po obszarze normalnym jest całka po obszarze regularnym który jest sumą obszarów wypukłych w kierunku jakiejś osi o wnętrzach parami rozłącznych. ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA BIEGUNOWE: x=r*cos<p, y=r*sin(p, J=|dx/dr,dx/d(pJdy/dr,dy/d(p| JjDf(x,y)dxdy=/J_Af(r*cos<p,r'^,,sin(p)r^,,‘d(pdr (D- obszar regularny i domknięty)

ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA SFERYCZNE: <p- kąt poziomy, 0- kąt od cienia do promienia: x=r*cos(pcos0, y=r*sin<pcos0, z=r*sin0, J=r*cos0 MASA: m_D=fgmdrn, MOMENT STATYCZNY: M_F=fn£<pd(x,F)dm, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: B_F=fo<pd(x,F)dm, PARCIE CIECZY F=Yjj_Dd((x,y),l)dxdy, PRACA NA WYPOMPOWANIE CIECZY: L=Yf/j_Dd((x,y,z),H), ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: (Xs,Ys,Zs): Xs=(f_Dgxdm)/(jDgdm)

DEF ŁUKU REGULARNEGO: luk regularny o początkach A i B K=AB to HONOGRAF (obraz) funkcji wektorowej n t€ <a(5>—>r(t)=[x(t),y(t),z(t)]€ R*²* dla z(t)=0—»łuk płaski F wektorowa r określa jednoznacznie uporządkowanie punktów (orientację) na honografie KRZYWA jest ZAMNIĘTA jeśli r(a)=r(($) i r jest różnowartościowa w przedziałach <0,(3) lub (a,p>

KRZYWA KAWAŁKAMI REGULARNA: skończona suma łuków regularnych (łamana): koniec jednego = początek drugiego

DEF CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ: Jeśli 3! rzeczywista liczba taka, że jest granicą dowolnego ciągu sum całkowych Sn I=lim jn-** si-»o» Sn przy normalnym ciągu podziału luku i niezależnie od wyboru punktów pośrednich Ak to nazywamy ją wartością całki krzywoliniowej

1k-ab W°dl INTERPRETACJA: praca potrzebna na przeniesienie jednostkowej masy wzdłuż luku K przy działaniu siły W. Gdy K jest zamknięta to J ta to cyrkulacja pola W wzdłuż krzywej K

/K=ABf(X,y,Z)dl=Ja^PflK=AB|r’(t)|dt=la^PflK=ABV(x’(t)²+/(t)²+Z^,(t)²)dt

lK=ABW"dl=la^K°r(t)dt=J«^|J[p(x(t),y(t),z(t))^x'(t) +Q( )*y’(0⁺R( )z'(t)]dt DŁUGOŚĆ ŁUKU: lK=/_Kdl, MASA ŁUKU: m,=fKg»dl, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: B_F=|_Kgnd²(x,F)dl, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: Xs=(f_Kg„xdl)/( /gndl)