4037603344

471

Metody numeryczne w mechanice oraz ich wpływ...

Metody komputerowe w zagadnieniach brzegowo-początkowych

4-

Metoda		Metoda		Metoda		Metody
elementów		elementów		różnic		bezsiatkowe
skończonych		brzegowych		skończonych		(MB)
(MES)		(MEB)		(MRS)

Elementy skończone Elementy brzegowe Siatka różnicowa Chmura punktów

Rys. 3. Metody komputerowe służące do rozwiązywania zagadnień brzegowo-początkowych

Dyskretyzacja zagadnienia powinna być tak przeprowadzona, aby residuum było jak najmniejsze. Warunek minimalizacji residuum jest równoważny tzw. całce ważonej określonej na elemencie skończonym z reszty pomnożonej przez pewną funkcję wagi. Sformułowanie to nazywa się metodą reszt ważonych lub metodą residuum ważonego. W zależności od postaci funkcji wagi mamy różne wersje metody elementów skończonych. Jeśli np. za funkcję wagi przyjmie się funkcje kształtu, to mamy tzw. sformułowanie Galerkina, natomiast jeśli dodatkowo wyrażenie pod całką zostanie scałkowane przez części, to mamy do czynienia z tzw. sformułowaniem słabym, (sformułowanie Ritza). Sformułowanie słabe równoważne jest ujęciu wariacyjnemu, w którym metodę elementów skończonych wyprowadza się z warunku minimalizacji pewnego funkcjonału, wyrażającego energię potencjalną. Opisane postępowanie prowadzi do algebraizacji zagadnienia na poziomie elementu skończonego. Jego rezultatem jest otrzymanie tzw. macierzy sztywności elementu. Zbiór pojedynczych elementów skończonych tworzy model rozłączny. Połączenie elementów skończonych w jeden dyskretny model obszaru Q nazywa się agregacją. Połączenie to wymaga spełnienia w każdym węźle elementu skończonego warunków zgodności przemieszczeń i równowagi sił. W