ÿþL i s t a 8 , K i e r u n e k : A i R , s e m . I , 2 0 0 8 / 2 0 0 9
Z a s t o s o w a n i e p o c h o d n e j f u n k c j i j e d n e j z m i e n n e j
1 . N a p i s z r ó w n a n i a s t y c z n y c h d o w y k r e s ó w p o d a n y c h f u n k c j i w e w s k a z a n y c h
p u n k t a c h :
x
a ) u ( x ) = a r c s i n , ( 1 , u ( 1 ) ) b ) v ( x ) = l n x 2 + e , ( 0 , v ( 0 ) )
2
"
À
c ) w ( x ) = e t g x , ( À , ) ) d ) z ( x ) = 2 x + 1 , ( 3 , z ( 3 ) )
4 4
"w ( "
2 x
e ) f ( x ) = , ( 2 , f ( 2 ) ) f ) g ( x ) = a r c t g x 2 , ( 0 , g ( 0 ) )
1 + x 2
"
e x
x
g ) h ( x ) = x , ( e , h ( e ) ) h ) p ( x ) = , ( 1 , p ( 1 ) )
x + 1
l n x 1 - x
i ) q ( x ) = , ( e , q ( e ) ) j ) r ( x ) = a r c t g , ( 1 , f ( 1 ) ) .
x 1 + x
2 . K o r z y s t a j a c z r ó |n i c z k i f u n k j i o b l i c z y p r z y b l i |o n e w a r t o [c i p o d a n y c h
w y r a |e D:
"
3 2 0 0 1
a ) 7 , 9 9 9 , b ) e 0 , 0 4 , c ) l n , d ) a r c c o s 0 , 4 9 9 ,
2 0 0 0
1
"
e ) , f ) a r c s i n 0 , 5 1 , g ) e - 0 , 0 7 , h ) l n 0 , 9 9 9 3
3 , 9 8
3 . W y z n a c z p r z e d z i a l y m o n o t o n i c z n o [c i i e k s t r e m a l o k a l n e p o d a n y c h
f u n k c j i :
x 4 x 3
a ) u ( x ) = - - x 2 , b ) v ( x ) = x l n 2 x ,
4 3
"
3
c ) w ( x ) = e x ( x + 1 ) , d ) z ( x ) = x - 3 x ,
x 3
e ) f ( x ) = , f ) g ( x ) = x 3 - 3 0 x 2 + 2 2 5 x ,
3 - x 2
x
g ) h ( x ) = x e - 3 x , h ) p ( x ) = ,
l n x
1 1
i ) q ( x ) = 4 x + , j ) r ( x ) =
x x l n x
"
x t
k ) h ( x ) = x x , l ) g ( x ) = , m ) w ( t ) = t .
x 2 + 4
4 . W y z n a c z p r z e d z i a l y w y p u k l o [c i o r a z p u n k t y p r z e g i e c i a w y k r e s ó w p o -
d a n y c h f u n k c j i :
1
a ) u ( x ) = x e - x , b ) v ( x ) = l n ( 1 + x 2 ) , c ) w ( x ) = s i n x + s i n 2 x ,
8
2 1
d ) z ( x ) = x - x 3 - 4 l n | x | , e ) f ( x ) = , f ) g ( x ) = s i n x ,
3 1 - x 2
x 3
g ) h ( x ) = t g x , h ) p ( x ) = e a r c t g x , i ) q ( x ) = ,
x 2 + 1 2
l n
"x
j ) r ( x ) = .
x
5 . W y z n a c z w a r t o [c i n a j m n i e j s z e i n a j w i e k s z e p o d a n y c h f u n k c j i n a w s k a z a n y c h
p r z e d z i a l a c h :
1 - x
a ) u ( x ) = a r c t g , [ 0 , 1 ] b ) v ( x ) = 2 x 3 - 1 5 x 2 + 3 6 x , [ 1 , 5 ]
1 + x
c ) w ( x ) = 1 - | 9 - x 2 | , [ - 5 , 1 ] d ) z ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 - 3 6 x - 8 , [ - 3 , 6 ]
"
e ) f ( x ) = x - 2 x , [ 0 , 5 ] f ) g ( x ) = ( x - 3 ) 2 e | x | , [ - 1 , 4 ]
g ) h ( x ) = x 2 | x 2 - 1 | , [ - 2 , 3 ] h ) p ( x ) = x 2 l n x , [ 1 , e ] .
6 . N a r y s u j w y k r e s y f u n k c j i f : R ’! R , k t ó r e s p e l n i a j a w s z y s t k i e p o d a n e
w a r u n k i :
a ) f ( x ) > 0 d l a x " ( - ", 1 ) *"( 4 , ") , f ( x ) < 0 d l a x " ( 1 , 4 ) , a l e f ( 1 ) , f ( 4 ) n i e
i s t n i e j a ,
b ) f ( x ) > 0 d l a k a |d e g o x < 1 , f ( 1 ) < 0 d l a k a |d e g o x > 1 , f - ( 1 ) = 1 ,
1
f + ( 1 ) = - , f ( 1 ) = 2 ,
2
c ) f ( x ) > 0 d l a k a |d e g o x " R , l i m f ( x ) = 0 ,
x ’! "
d ) f ( x ) < 0 d l a k a |d e g o x < 1 , f ( x ) > 0 d l a k a |d e g o x > 1 , f ( 1 ) n i e i s t n i e j e ,
e ) f - ( 0 ) = - 1 , f + ( 0 ) = ", l i m f ( x ) = ",
x ’! "
f ) f ( x ) < 0 d l a k a |d e g o x " R - { - 2 } , f ( - 2 ) = 0 .
N a r y s u n k a c h z a z n a c z y f r a g m e n t y w y k r e s ó w , k t ó r e s p e l n i a j a p o s z c z e g ó l n e w a r u n k i .
7 . Z b a d a j p r z e b i e g z m i e n n o [c i p o d a n y c h f u n k c j i i n a s t e p n i e s p o r z a d z i c h
w y k r e s y :
"
x
1 - x 2
a ) u ( x ) = , b ) v ( x ) = x l n x , c ) w ( x ) = a r c s i n ,
x - 1 1 + x 2
2 - x 2
1
4 4
x 2 - 1
x
d ) z ( x ) = e , e ) f ( x ) = 3 - - , f ) g ( x ) = x 2 ,
x x 2
x 3 x
g ) h ( x ) = ( x - 1 ) 2 ( x + 2 ) , h ) p ( x ) = , i ) q ( x ) = ,
x - 1 l n x
"
x
j ) r ( x ) = x 1 - x 2 k ) h ( x ) = x 2 e - x , l ) g ( x ) = ,
x 2 + 4
"
t
m ) w ( t ) = t .
8 . K o r z y s t a j a c z r e g u l y d e L H o s p i t a l a o b l i c z p o d a n e g r a n i c e :
À
l n s i n x
l n ( 2 x + 1 )
x 1 0 - 1 0 x + 9
2
a ) l i m , b ) l i m , c ) l i m ,
x 5 - 5 x + 4 x l n x
x ’!1 x ’! " x ’!1
x - a r c t g x l n c o s x x x - 1
d ) l i m , e ) l i m , f ) l i m ,
x 2 l n c o s 3 x l n x
x ’!0 x ’!0 x ’!1
1
x
g ) l i m ( c o s x ) , h ) l i m x a r c t g x , i ) l i m x l n x ,
x ’!0 x ’! "
x ’!0 +
1 2 1
j ) l i m ( ) , k ) l i m ( a r c t g x ) x , l ) l i m ( ) s i n x ,
x ’!0 - x - c t g x x ’! " À x ’!0 + x
a r c t g 3 x
x
m ) l i m ( 1 + x ) l n x , n ) l i m , o ) l i m ( À - x ) t g .
a r c t g x 2
x ’! "
x ’!0 + x ’!À-
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
6, 7 zastosowania pochodnej funkcjiC06 Zastosowanie pochodnej6 Zastosowania pochodnej6 Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcjiPOCHODNA FUNKCJI ZASTOSOWANIE POCHODNYCHAM23 w07 Pochodne cząstkowe zastosowanialab1wyklad Zastosowanie bakterii mlekowych w technologii produkcji żywności pochodzenia roślinnegoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych K Rębilaszastosowanie metod fotometrii absorpcyjnejwięcej podobnych podstron