22944

Zaliczenie z Algebry liniowej i geometrii analitycznej.

02. 07.2012.

!. Rozwiązać równanie: z⁶ - 3;z³ + 4 = 0. Wynik przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej oraz zinterpretować go geometrycznie.

2.    Dany jest punkt A = (0,3,1) zaś punkty B, C,D są obrazami punktu A poprzez symetrię odpowiednio względem punktu O = (1,1,1), prostej

l: (*, y, z) = (5,0,1) + /(1,0,2),/ e R i płaszczyzny n: 2x - 2y + z - 4 = 0. Obliczyć objętość czworościanu ABCD.

3.    Niech /! = {*€    i Vx,y e A:x+y - xy-x-y+ 2.

a)    Udowodnić, że (^,*) jest grupą..

b)    Sprawdzić, czy odwzorowanie /: A -> R., takie, że f(x) = x -1

jest homomorfizmem grupy (/!,*) w grupę (/?*,•). Czy jest to izomorfizm? o) Czy struktura (/I,*,/?,-) jest przestrzenią wektorową

4.    Dane jest odwzorowanie : /:    -> /?[*]., takie, że

(f(P)X^x) = *V(*)-mxp'{-x),gdzie me R.

c)    Sprawdzić, czy f jest odwzorowaniem liniowym.

d)    Zbadać w zależności od parametru m Kerf i Im / .Podać ich bazy i wymiary. Czy istnieje taka wartość parametru m, że /jest izomorfizmem.

1    -4 -6'

-4    7    0.

-10 -8 1

5. W fl³ dana jest forma dwuliniowa: f(X,Y) = X^T AY taka, że A =

$ Podać formę kwadratową <p(X) skojarzoną z formą /.

f)    Znaleźć przekształcenie ortogonalne sprowadzające tę formę do postaci kanonicznej.

g)    Podać równanie powierzchni ę(X) -1 w nowym układzie współrzędnych. Jaka to powierzchnia?

Pomoc: Wiadomo, żeZ-9'\X =-9 są wartościami własnymi macierzy formy kwadratowej.