103969

Algebra liniowa z geometrią analityczną Lista 1: Działania wetonętrzne. Grupy. Permutacje.

1. Narysować tabelkę działania w zbiorze A = {(), 1.2,3.4}, zdefiniowanego wzorem: a-b = reszta z dzielenia liczby 2a - 3b przez 4 (dla dowolnych a. 6 € A).

2. Sprawdzić, czy działanie • w zbiorze A (1) jest przemienne, (2) ma element neutralny, (3) jest łączne, jeśli:

a)

b)

gdy a + 6 jest liczbą parzystą, gdy a + 6 jest liczbą nieparzystą

A = R², (x\, x₂) • (s/i. m) = (*i + V\ * *2 - W) dla dowolnych (xi, 12). (yi, Jfe) € R².

A = Z.

dla dowolnych a.b £ A.

3.    Ile różnych działań można określić w zbiorze zawierającym:

a) jeden element, b) n elementów?

Ile jest takich działań, które dodatkowo są przemienne?

4.    Podać przykład działania w zbiorze A = {«,6,e}, które

a)    jest przemienne ale nie jest łączne,

b)    jest łączne ale nie jest przemienne,

c)    jest przemienne i łączne.

d)    nie jest przemienne i nie jest łączne.

e)    ma element neutralny i jest przemienne,

f)    ma element neutralny i nie jest przemienne,

g)    ma element neutralny i każdy element ]M>siada odwrotność.

5.    Niech G będzie zbiorem wszystkich funkcji / : R —* R postaci f(x) = ax + b, gdzie a.b £ R i a ^ 0.

a)    Udowodnić, że G ze składaniem funkcji jako działaniem tworzy grupę.

b)    W grupie G obliczyć (5x -f 3)^_I o (3x + 2).

6.    W zbiorze G = {r 6 R : 0 < r < 1} określono działanie

_r _ ( r 1+1*2    jeżeli n + 1*2 < 1

¹    2    \ H + T2 — 1 jeżeli n + T2 > 1

a)    Udowodnić, że G z działaniem • tworzy grupę.

b)    W grupie G obliczyć f • (5)”¹.

7. Dla permutacji ^ = (3 ² 2 5 6 1) » ^r = (2 6 5 1 3 1) obliczyć:

a) <tt,    b) r<7, c) a⁴,    d) t~\ e) a~³T²<j²,    f) r^{1 2 3}.

10. Określić parzystość permutacji:

_flwl 2 3 4 5 6 7\    uw! 2 34 56 78\

^aM5 6 4 7 2 1 3b    °M3 5 2 1 6 4 8 7h

j\ /I 2 3 ... n—2 n—1 n\    \ /

O) (n n-1 n-2    3    2 1 )>    ^e) (

I 2 3 4 5 6 7\ 1 7 6 5 3h

12    3    1

n 1 n-1 2

n-1 n

11.    Niech (G, •) będzie gmpą z elementem neutralnym e taką. że af = e dla każdego a £ G. Pokazać, że G jest grupą abelową.

12.    Niech • ladzie działaniem w zbiorze liczb rzeczywistych R takim, że

(a • b) ■ c = a + b + c dla dowolnych liczb a.b.c£ R.

Udowodnić, że działanie • jest zwykłym dodawaniem, tzn. a b = a + b dla dowolnych «. b £ R.

1

   Poniższe permutacje zapisać w |>ostaci iloczynu (1) cykli rozłącznych. (2) transpozycji:

„wl 2 3 4 5 6 7\    uwl 23 4 5 678\    „wl 2 3 4 5 6 7\    .1 wl 2 .3 4 5 6 7 8 9\

^aJ 13 5 6 7 4 1 2h    O/ U 8 7 6 3 4 5 2/*    ^c) \6 5 7 2 1 3 4J*    ⁴) U 7 2 8 9 1 6 3 5J*

2

   Niech a = (J ² J 5 } § J 3 !)• Wyznaczyć permutację r zbioru {1.2.....8.9} taką. że

3

„-26    _/l 2345678 9\

4

a To — \9 1 -i ₂ G 5 3 8 7h