40099

Przykład: Niech T będzie teorią z identycznością, której język zawiera - oprócz zmiennych i stałych logicznych - następujący termin swoisty: < (predykat 2. argumentowy).

Aksjomatami poza logicznym i teorii T są:

1.    -(x < x)[przedwzwrotność]

2.    x<y^Ay<z-»y<x    [przechodniość)

3.    x = yvx<yvy<x    [spójność]

4.    x < y -* 3z(x < z ^A z < y) [gęstość]

5.    V/x3y (x < y )    [nie istnieje element największy]

6.    Wx3y (y < x)    [nie istnieje element najmniejszy]

Dla tej teorii można podać wiele izomorficznych interpretacji, przy których powzysze aksjomaty są prawdziwe, Oto trzy z nich:

N	Uniwersum	/Jn(=)	/_>(<)
1	Zbiór liczb rzeczywistych R	Identyczność	Bycie mniejszą
2	Zbiór punktów na prostej P	Pokrywanie się	Leżenie na lewo
3	Zbiór punktów czasowych C	Równoczesność	Byde wcześniejszym

Izomorfizm np. interpretacji (3) i (1) ustala funkcja h: C -* R taka, źe:

•    h(C) = R oraz dla dowolnych c1. c2 e C jeżeli c != c2. to h(c1) != h(c2)

•    dla dowolnych c1, c2 e C zachodzą równoważności:

/_\1(=)(c1, c2) «-* /_\3(=)(h(c1 ).h(c2)) czyli chwile są równoczesne wtw przyporządkowane im liczby są równe:

OK<Xc1.c2)~...

Twierdzenie) Zasadnicze twierdzenie o izomorfizmie: Jeżeli h ustala izomorfizm (homorfizm) interpretacji M i M\ zaś <wn> jest dowolnym M-wartościowaniem, to:

1.    h(Wm(t, <wn>)) = Wm*(t, <h(wn)>); [drugi obiekt jest kopią pierwszego]

2.    <wn>SpłM A ♦-» <h(wn)>SpłM* A: