101745

a,-—.-*9

a„-g

lima = g

n-»0

Ci^g zbieżny/rozbieżny:

Ciąg (an) nazywamy zbieżnym do g, gdy ma granicę równą g. Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę skończoną, w przeciwnym przypadku ciąg ten nazywamy rozbieżnym.

Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Działania na granicach cięgów:

Niech (an), (bn) będą ciągami liczbowymi

zbieżnymi oraz niech lim. an = a, lim. bn = b, gdzie a, be R. Wówczas:

1.    lim (a,, + bn) = lim On -f lim bn = a + b.

2.    lim (a* — 6„) = lim a* - lim b_n = a - b

n—*30    n—ao    n —oc

3.    Jeśli c € R. to lim (c ■ a,) = c ■ lim «„ = c • a.

4.    Jctii 6^0 oraz 6* f O dla n € N, to lim --    =    |

Tw ierdzenie o trzech cięgach:

Niech (an), (bn), (cn) będą dagami liczbowymi takimi, że (an)s(bn)s(cn) dla prawie wszystkich ne N.

Jeżeli ge R oraz J,ima„ = g j limc„ = g ,_Q limfe, =g

Definicja liczby Eulera:

Liczbę Eulera ee R defniujemy następująco

e = lim(l+—)" n

Liczba e jest poprawnie określona, gdyż można pokazać, że ciąga_n = (1+-)"

n

jest rosnący i ograniczony z góry. Można również udowodnić, że „e" jest liczbą niewymierną oraz e » 2, 718281