113054

Definicja. Parę I X,|P_t> : 0 € ©)) nazywamy przestrzenią statystyczną, a każde odwzorowanie g: X —» R^k k-wymiarową statystyką.

Jeżeli X = (X,, X₂,..., X_n), gdzie X_l,X₂,... ,X_n jest cięgiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa P_a na X, to próbę tę nazywamy prostą próbą losową o liczności n. a odpowiadająca jej przestrzeń statystyczna jest przestrzenią produktową (X,{P_e : de ©})ⁿ.

Przykład. Skonstruujmy przestrzeń statystyczną dla eksperymentu, w którym dokonujemy n niezależnych rzutów monetą. Wynik pojedynczego rzutu jest zmienną losową o rozkładzie dwupunktowym. Złóżmy, że prawdopodobieństwo orła w pojedynczym rzucie jest równe 0e(O,l). Zdefiniujmy zmienną losową opisującą wynik /-tego rzutu, 1 £ / ś n:

^ Jo reszka w i - tym rzucie [l orzep w i - tym rzucie

Wówczas X = {0,1}, a P₀{X = l) = 0 = 1-P₀(X = 0). Przestrzeń statystyczna jest przestrzenią produktową (X,{P_<,: 0e 0))".

Możliwy jest także inny sposób zdefiniowania przestrzeni statystycznej, całkowicie równoważny wyżej opisanemu, gdzie przestrzeń prób X jest zbiorem wszystkich zero-jedynkowych ciągów n-wyrazowych (x,,x_2i...,x_n), a prawdopodobieństwo

n

p,(x=(x„x₁.....xj)=0'-^,^i-0rl,^v

Przykład. Dokonujemy n niezależnych pomiarów pewnej wielkości p. Każdy pomiar jest obarczony błędem losowym e, który jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0,o). Skonstruować przestrzeń statystyczną.

Jest oczywistym, że wynik i-tego pomiaru X, =p+£₍ ma rozkład normalny N(p,o). Zatem mamy do czynienia z przestrzenią statystyczną :

R\

^^u)=^b^exp[4(ⁱv^£)

: p € R¹, <T > 0

lub inaczej

Rⁿ.

|.*2.....*J = (<tV2x) "exp

* i-i

1 r* x_t~H

: p e R\<7 > 0

W dalszym ciągu będziemy zakładali, że mamy do czynienia z prostą próbą losową o liczności n, tzn. z ciągiem niezależnych zmiennych losowych X,,X₂,K , X„ o jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa P_e,0e0 i dystrybuancie F.