9414912327

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Definicja. Układem m równań liniowych z n niewiadomymi aą,... ,x„ nazywamy układ równań:

{Ou*i + a₁₂i2 + ... + ai_nx„ = bi

02lXi + 022^2 + • - • + <*2»#n ⁼ ^2 OmlZl + OmzZ-i + .. . + C^^ = ^

gdzie aij ( współczynniki układu) i b, ( wyrazy wolne) są liczbami rzeczywistymi, * = 1,... ,m, j — 1,... ,n.

Definicja. Rozwiązaniem układu nazywamy dowolny układ n liczb rzeczywistych, dla których każde równanie układu jest spełnione tożsamościowo.

Jeżeli układ ma

• dokładnie jedno rozwiązanie - układ oznaczony • nieskończenie wiele rozwiązań - układ nieoznaczony • nie ma rozwiązań - układ sprzeczny

Wprowadzając oznaczenia:

<*11 <*12 <*21 <*22

<*ml <*m2

<*ln

<*2n

**mn

- macierz współczynników

bi

b2

- macierz (kolumna) wyrazów wolnych

, gdzie ,x„ oznaczają niewiadome, możemy układ zapisać w postaci równania

macierzowego

A ■ X — B

Definicja. Układ nazywamy układem jednorodnym, jeśli B jest macierzą zerową, i niejednorodnym -w przeciwnym wypadku.

Uwaga. Układ jednorodny ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie, bo układ liczb Xi = X2 = ■ ■ ■ = x_n = Ojest rozwiązaniem tego układu.