SCN
05

5. Układy równań liniowych

5.1. Układy równań liniowych i ich rozwiązania

Definicje układu równań liniowych

Postać ogólna układu m równań liniowych o n niewiadomych jest następująca:

a u x i + a 12 x ₂ +... + a i„ x „ = b i a 21 X I + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b2

^ ^ ml X | + a n\2 X 2 +... + a mn X _n — b m

lub:

a u x i + a i2 x 2 +... + a _in x „ = b i (dla i = 1,2,.... m)

Postać uproszczona układu równań liniowych jest następująca:

n

'L^aiJ*J~^bi 0 = 1.2.....m)

y=i

gdzie:

a jj - współczynniki przy niewiadomych (współczynnik w i-tym równaniu przy j-tej niewiadomej), bj-wyrazy wolne (prawe strony układu równań liniowych) (i = l,2,.... m),

x j - niewiadome (j = 1,2,.... n).

Postać macierzowa układu równań liniowych jest następująca:

A X = b

gdzie:

A = [ ay ] _m x n — macierz współczynników przy niewiadomych, b = [bj]_mxi - wektor wyrazów wolnych,

X = [ Xj ] _n xi - wektor niewiadomych.

Wniosek

Powyższe wzory oznaczają dokładnie to samo w różnych konwencjach zapisu. W teorii układów równań liniowych ważną rolę odgrywa następująca macierz U:

U = [A, b] _mx(B+ o - macierz uzupełniona.

Podstawowymi problemami teorii układu równań liniowych są:

-    określenie pojęcia rozwiązania,

-    badanie istnienia lub nie istnienia rozwiązań,

-    badanie kwestii ilości rozwiązań układu równań liniowych,

-    wyznaczanie rozwiązań gdy one istnieją.

■    ~    .i ■    i ,    , i- ■ijfc.ł. ,    * ■ i im, -    1    —

Definicja rozwiązania układu równań liniowych

Rozwiązaniem układu równań liniowych AX = b nazywamy wektor następującej postaci:

X =[XI,X2, ... ,x„]^T

który spełnia ten układu równań liniowych, tzn. wektor dla którego zachodzi równość:

Zbiór wszystkich rozwiązań układu równań liniowych AX = b oznaczamy następująco:

>łf(A.M = (Xr R"• AX-b’

79