2500336026

Zadanie 3.7

Korzystając z warunków na rozwiązałność dowolnego układu równań liniowych podać warunki na to, by na płaszczyźnie:

(i)    trzy punkty leżały na wspólnej prostej (były współliniowe),

(ii)    trzy proste przechodziły przez wspólny punkt.

Zadanie 3.8

([1], str. 24) Rozważyć układ trzech równań jednorodnych

ax + by = 0, cx + dy = 0, ex + fy = 0.

Zbadać wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie, opisanych przez poszczególne równania. Rozpatrzyć dwa przypadki: układ ma tylko trywialne rozwiązanie (zerowe) i układ ma nietrywialne rozwiązanie (niezerowe).

Zadanie 3.9

([12], str. 118) Znaleźć macierz A spełniającą jednocześnie oba podane warunki

[i    4    Ol    [9    7 1    [2 1    3 ]    [ 4 16]

[ 2    2    5 ]    [6    23 ]’    [ll    O]    [34]'

Czy macierz A jest określona jednoznacznie?

Zadanie 3.10

(a)    ([1], str. 20) Znaleźć współczynniki wielomianu w(x) = ax³ + bx² + cx + d, który dla X\ = 0, £2 = 1)^3 = 3, £4 = 4 przyjmuje odpowiednio wartości

w(0) = 10, w(l) = 7, ia(3) = -11, w(A) = -14.

Wskazówka. Należy rozwiązać układ równań liniowych wynikający z podanych warunków na wartości wielomianu dla ustalonych argumentów. Niewiadomymi tego układu są współczynniki szukanego wielomianu. Zwrócić uwagę na postać macierzy układu i porównać ją z wyznacznikiem Vandermonde’a, zdefiniowanym w jednym z zadań uzupełniających z listy 3. Czy powyższe warunki jednoznacznie określają ten wielomian? Co by było, gdyby argumenty Xi,... ,Xą nie były różne? Uwaga. Zadanie jest przykładem interpolacji wielomianowej Lagrange ’a.

(b)    ([17], str. 71) Niech xi = 1,X2 = 2. Znaleźć wielomian w(x) stopnia < 5 spełniający warunki (w tych warunkach występują pochodne)

w(xi) = —2, w'{x\) = —7, w"{x\) — —14, w"'{x 1) = 24, w{x2) = —4, w'(x2) = 25.

Uwaga. Zadanie jest przykładem interpolacji wielomianowej Hermite ’a.

(c)    ([8], str. 95) Niech w{x) będzie wielomianem stopnia < 5 spełniającym warunki

tu(0) = w(l) = w{2) = w( 3) = 0.

Napisać układ równań liniowych, którego rozwiązaniem są współczynniki wielomianu w(x), spełniającego te warunki. Zbadać, czy te warunki jednoznacznie określają ten wielomian. Podać ogólną postać wielomianów w(x), spełniających te warunki.

20