img059 (26)

64

rozwiązanie aproksymującego układu równań liniowych dokonuje się kolejnych aproksymacji, rozwijając funkcję /(•) w szereg Taylora do wyrazów rzędu pierwszego włącznie w otoczeniu punktów otrzymanych w następujących po sobie iteracjach.

Niech X(₀) = (Ti.(o), *2.(0),    x„,(0))^r będzie ustalonym punktem w R". Dla każdej z funk

cji/*-): R”3^R występującej w układzie równań (3.76) rozważa się jej rozwinięcie dane wzorem Taylora w otoczeniu zadanego punktu jc₍₀) do wyrazów rzędu drugiego tworzących resztę wzoru

fi (^X1 > ^x2 >" ■’ ^xn ) ⁼ / (^xl,(o) > ^x2,(o)’ ■ ■ ■ > ^xn,(o)) ⁺ dfi

-V^X1    ,

OXi

CDC,

dfi

dx_r

•(^x2-^x2,(0)) + --' +

(3.80)

^x(o)

^x(0)

-(^x„ -^x„,(o)) + &; . i =

*(o)

Składnik 9ł_; jest resztą zawierającą czynniki (Xj-x_J:^)²,j = 1,2, •••,«.

Niech Jf(x) oznacza macierz Jacobiego funkcji/(■), wyznaczoną w punkcie x

def

J_f(x) =

5/iM	df\(x)	df{x)
dxx	dx2	dxn
dfi{x)	df2(x)	df2{x)
dxx	dx2	dxn
df„{x)	df„{x)	dfn(x)
	dx2	dx„

(3.81)

Rozwinięcia (3.80) dla funkcji/{■), i = 1, 2, n można przedstawić w następującym zapisie wektorowym:

f\(x)		fi^x(o))	-
fl{x)	=	f 2 (^x(0))	+
_fn(x)_		_/»(^x(0))

^g/i(^x(o))    _    ^g/i(-^x(o))

dx_{    dx_n

d/«(^x(o))    ^a/»(^x(o))

dx_x

	H 1 H		V
	^x2 ^x2,(o)	+	9ł2
	^X« ^— Xn,(o)

(3.82)

Wprowadzając oznaczenie 91= (9ł,,9l₂,•••,3ł„)^r dla wektora reszt oraz wykorzystując

zwartą symbolikę wektorową, otrzymuje się następujący zapis układu równań (3.82) opisującego rozwinięcia dane wzorem Taylora dla funkcji / (•), / = 1, 2, —, n,

(3.83)

f{x) =    )+ J_f (*(o))- (^x - *(o))+ ^a(^x> ^x(o)) >

gdzie (x - x_{o)) = (x_t - x_U0), x₂ - x_im,    x„,₍o))^r.