ÿþW s t p d o r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j M A P 2 0 3 7
w y k Ba d d r h a b . A . J u r l e w i c z
W P P T F i z y k a , F i z y k a T e c h n i c z n a , I r o k , I I s e m e s t r
P r z y k Ba d y - L i s t a n r 3 : Z m i e n n a l o s o w a . R o z k Ba d z m i e n n e j l o s o w e j .
1 . N i e c h X o z n a c z a o c e n z e g z a m i n u ( w c z t e r o s t o p n i o w e j s k a l i o c e n : 2 , 3 , 4 , 5 ) l o s o w o
w y b r a n e g o s t u d e n t a z d u |e j g r u p i e s t u d e n c k i e j . R o z k Ba d t e j z m i e n n e j l o s o w e j p o d a n y
j e s t w t a b e l i :
n 1 2 3 4
x n 2 3 4 5
p n 0 , 1 0 , 3 0 , 4 C
W y z n a c z s t a B C i o b l i c z p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e o c e n a j e s t w y |s z a n i | 3 .
R o z w i z a n i e :
" p n 0 Ô! C 0
4
" p n = 0 , 1 + 0 , 3 + 0 , 4 + C = 0 , 8 + C = 1 Ô! C = 0 , 2
n = 1
" O b a w a r u n k i s p e Bn i o n e s d l a C = 0 , 2 .
" P ( X > 3 ) = P ( X = 4 ) + P ( X = 5 ) = p 3 + p 4 = 0 , 4 + 0 , 2 = 0 , 6
1
2 . D l a j a k i e j w a r t o [c i s t a Be j c c i g p n = c l n 1 - , n = 2 , 3 , . . . , 8 , o k r e [l a r o z k Ba d
n 2
p e w n e j z m i e n n e j l o s o w e j ? P o d a d w a r ó |n e p r z y k Ba d y t a k i e j z m i e n n e j l o s o w e j i w y l i c z y
d l a o b u p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e z m i e n n a t a j e s t w i k s z a o d 5 , 2 i m n i e j s z a o d 7 , 9 9 9 9 .
R o z w i z a n i e :
1
" p n 0 d l a k a |d e g o n w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y c 0 ( b o 1 - < 1 ) .
n 2
8 8 8
( n - 1 ) ( n + 1 )
" p n = c l n = c ( l n ( n - 1 ) + l n ( n + 1 ) - 2 l n n ) =
n 2
n = 2 n = 2 n = 2
1
9
= c ( l n 9 - l n 8 - l n 2 ) = c l n = 1 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y c = < 0 .
1 6
9
l n
1 6
1
" O b a w a r u n k i n a c i g o k r e [l a j c y r o z k Ba d s s p e Bn i o n e d l a c = .
9
l n
1 6
" A b y p o d a r o z k Ba d z m i e n n e j l o s o w e j z w y k o r z y s t a n i e m p n t r z e b a j e s z c z e o k r e [l i
z b i ó r j e j w a r t o [c i , c z y l i r ó |n o w a r t o [c i o w y c i g ( x n ) .
1 2
P r z y k Ba d 1 . Z m i e n n a l o s o w a Y , d l a k t ó r e j x n = d l a n = 2 , 3 , . . . , 8 . ( Z b i ó r
n
1 2 1 2
w a r t o [c i t o { 6 , 4 , 3 , , . . . , } . )
5 8
1
l n 1 -
4
W t e d y P ( 5 , 2 < Y < 7 , 9 9 9 9 ) = P ( Y = 6 ) = p 2 = H" 0 , 5 .
9
l n
1 6
P r z y k Ba d 2 . Z m i e n n a l o s o w a Z , d l a k t ó r e j x n = 8 + n 2 d l a n = 2 , 3 , . . . , 8 . ( Z b i ó r
w a r t o [c i t o { 1 2 , 1 7 , . . . , 7 2 } . )
W t e d y P ( 5 , 2 < Z < 7 , 9 9 9 9 ) = 0 .
1
3 . N a p o d s t a w i e p e w n y c h b a d a D s t w i e r d z o n o , |e z m i e n n a l o s o w a X o p i s u j c a p r o c e n t
z a n i e c z y s z c z e D w p r ó b c e r u d y m i e d z i m a r o z k Ba d o g s t o [c i
1 2 x 2 ( 1 - x ) d l a 0 x 1 ,
f ( x ) =
0 p o z a t y m .
W y b r a n o n i e z a l e |n i e c z t e r y p r ó b k i . W y z n a c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e
( a ) d o k Ba d n i e j e d n a p r ó b k a z a w i e r a p o n a d 5 0 % z a n i e c z y s z c z e D;
( b ) c o n a j m n i e j j e d n a p r ó b k a z a w i e r a p o n a d 5 0 % z a n i e c z y s z c z e D.
R o z w i z a n i e :
" M o d e l : s c h e m a t B e r n o u l l i e g o ,
1
s u k c e s - p r o c e n t z a n i e c z y s z c z e D w p r ó b c e j e s t w i k s z y n i | 5 0 % , c z y l i X > ;
2
" 1
1 1 1
p = P ( X > ) = f ( x ) d x = 1 2 x 2 ( 1 - x ) d x = , n = 4 .
2 1 6
1 1
2 2
" N i e c h Y o z n a c z a i l o [ p r ó b e k z w i c e j n i | 5 0 % z a n i e c z y s z c z e D w [r ó d 4 b a d a n y c h
1 1
( c z y l i i l o [ s u k c e s ó w w n = 4 p r ó b a c h ) . Y m a r o z k Ba d B e r n o u l l i e g o B n = 4 , p = ,
1 6
c z y l i p r z y j m u j e w a r t o [ x k = k z p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m
k 4 - k
4
1 1 1 1
p k = 1 - d l a k = 0 , 1 , . . . , 4 .
k 1 6 1 6
" M a m y z a t e m
1 3
4
1 1 1 1
( 1 ) P ( Y = 1 ) = 1 - H" 0 , 0 8 4 ;
1 1 6 1 6
0 4
4
1 1 1 1
( 2 ) P ( Y 1 ) = 1 - P ( Y = 0 ) = 1 - 1 - H" 0 , 9 9 .
0 1 6 1 6
ñø
ôø
0 d l a x < - 1 ,
ôø
ôø
ôø
ôø
ôø - 4 ) d l a - 1 x < 1 ,
c ( x 2
òø
4 . D o b r a s t a B c t a k , a b y f u n k c j a f ( x ) = 0 d l a 1 x < 2 , b y Ba
ôø
ôø
ôø
c ( x
ôø - 5 ) d l a 2 x < 3 ,
ôø
ôø
óø
0 d l a 3 x
g s t o [c i p e w n e j z m i e n n e j l o s o w e j X . Z n a l e z d y s t r y b u a n t t e j z m i e n n e j l o s o w e j .
W y l i c z y P ( 0 , 5 X < 1 , 5 ) i P ( X 2 , 5 ) .
R o z w i z a n i e :
" f ( x ) 0 d l a k a |d e g o x w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y c 0 ( w z o r y b e z c d a j f u n k c j e
u j e m n e n a p o d a n y c h p r z e d z i a Ba c h ) .
1
f ( x ) , c = 1
1 2
- 1 3
0
x
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5
" 1 3
" f ( x ) d x = c ( x 2 - 4 ) d x + c ( x - 5 ) d x = - 5 9 c = 1 w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y
6
- " - 1 2
6
c = - .
5 9
2
6
" O b a w a r u n k i n a g s t o [ s s p e Bn i o n e , g d y c = - .
5 9
x
" D y s t r y b u a n t a m a p o s t a F ( x ) = f ( t ) d t =
- "
ñø
ôø
0 d l a x < - 1 ,
ôø
ôø ñø
ôø
x
ôø
ôø 6 ôø 0 d l a x < - 1 ,
ôø ôø
ôø - ( t 2 - 4 ) d t d l a - 1 x < 1 ,
ôø
ôø 5 9 ôø
2 ( x ( 1 2 - x 2 ) + 1 1 )
ôø ôø
ôø - 1 ôø
d l a - 1 x < 1 ,
ôø ôø
5 9
òø òø
1
4 4
6
d l a 1 x < 2 ,
= - ( t 2 - 4 ) d t d l a 1 x < 2 , =
5 9
5 9
ôø ôø
ôø - 1
ôø
ôø ôø
3 x ( 1 0 - x ) - 4
ôø ôø
x
ôø ôø
d l a 2 x < 3 ,
ôø ôø
4 4 6
5 9
ôø ôø
+ - ( t - 5 ) d t d l a 2 x < 3 ,
ôø óø
ôø
5 9 5 9
ôø 1 d l a 3 x
ôø 2
ôø
óø
1 d l a 3 x
0 . 5 0 . 5
F ( x )
F ( x )
0 . 4 0 . 4
0 . 3 0 . 3
0 . 2 0 . 2
0 . 1 0 . 1
0 0
x x
- 0 . 1 - 0 . 1
- 1 0 1 2 3 - 1 0 1 2 3
0 . 5 0 . 5
F ( x )
F ( x )
0 . 4 0 . 4
+ +
0 . 3 0 . 3
0 . 2 0 . 2
0 . 1 0 . 1
0 0
x
x
- 0 . 1 - 0 . 1
- 1 0 1 2 3 - 1 0 1 2 3
F ( x )
1 1
0 . 8
4 4 / 5 9
H" 0 , 7 4 5 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
x
0
- 1 1 2 3
- 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5
2 ( 0 , 5 · ( 1 2 - ( 0 , 5 ) 2 ) + 1 1 )
4 4 4 1
" P ( 0 , 5 X < 1 , 5 ) = F ( 1 , 5 ) - F ( 0 , 5 ) = - = H" 0 , 1 7 4
5 9 5 9 2 3 6
3 · 2 , 5 · ( 1 0 - 2 , 5 ) - 4
2 7
" P ( X 2 , 5 ) = 1 - F ( 2 , 5 ) = 1 - = H" 0 , 1 1 4 .
5 9 2 3 6
3
5 . D y s t r y b u a n t a z m i e n n e j l o s o w e j X j e s t d a n a w z o r e m
ñø
0 d l a x 0 ,
ôø
ôø
ôø
òø
0 , 1 2 5 x 2 d l a 0 < x 1 ,
F ( x ) =
ôø
0 , 5 x 2 - x + 0 , 7 5 d l a 1 < x 2 ,
ôø
ôø
óø
1 d l a 2 < x .
O b l i c z y P ( 1 X < 1 , 5 ) , P ( 1 < X 1 , 5 ) , P ( 0 < X < 2 ) , P ( 0 < X 2 ) ,
P ( X > 1 ) , P ( | X | > 1 / 2 ) .
R o z w i z a n i e :
1 . 5
F ( x )
1 1
0 , 7 5
0 . 5
0 , 2 5
0 , 1 2 5
0
1 2 x
- 0 . 5
- 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5
" P ( 1 X < 1 , 5 ) = F ( 1 , 5 ) - F ( 1 ) = ( 0 , 5 · ( 1 , 5 ) 2 - 1 , 5 + 0 , 7 5 ) - 0 , 1 2 5 · 1 2 = 0 , 2 5
" P ( 1 < X 1 , 5 ) = l i m F ( x ) - l i m F ( x ) =
x ’!1 , 5 + x ’!1 +
= ( 0 , 5 · ( 1 , 5 ) 2 - 1 , 5 + 0 , 7 5 ) - ( 0 , 5 · 1 2 - 1 + 0 , 7 5 ) = 0 , 1 2 5
" P ( 0 < X < 2 ) = F ( 2 ) - l i m F ( x ) = ( 0 , 5 · 2 2 - 2 + 0 , 7 5 ) - 0 = 0 , 7 5
x ’!0 +
" P ( 0 < X 2 ) = l i m F ( x ) - l i m F ( x ) = 1 - 0 = 1
x ’!2 + x ’!0 +
" P ( X > 1 ) = 1 - P ( X 1 ) = 1 - l i m F ( x ) = 1 - ( 0 , 5 · 1 2 - 1 + 0 , 7 5 ) = 0 , 7 5
x ’!1 +
" P ( | X | > 1 / 2 ) = P ( X > 1 / 2 ) + P ( X < - 1 / 2 ) = ( 1 - l i m F ( x ) ) + F ( - 0 , 5 ) =
x ’!0 , 5 +
= ( 1 - 0 , 1 2 5 · ( 0 , 5 ) 2 ) + 0 = 0 , 9 6 8 7 5
4
6 . D o b r a s t a Be A , B i C t a k , a b y f u n k c j a
ñø
ôø A e x d l a x 0 ,
òø
F ( x ) = B x + 0 , 2 5 d l a 0 < x l n 2 ,
ôø
óø
C - e - x d l a x > l n 2
b y Ba d y s t r y b u a n t r o z k Ba d u p e w n e j z m i e n n e j l o s o w e j X .
O b l i c z y p r a w d o p o d o b i e Ds t w a P ( X l n 2 ) , P ( X > - l n 3 ) i P ( 0 < X < 1 ) .
R o z w i z a n i e :
1 . 5
F ( x )
1
1
0 . 5
0 . 5
B l n 2 + 0 . 2 5
0 . 2 5
A
x
0
l n 2
- 0 . 5
- 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0
R y s u n e k 1 : F ( x ) d l a A = 0 , 1 5 , B = 0 , 2 5 , C = 1 .
" D l a w s z y s t k i c h A , B i C f u n k c j a F ( x ) j e s t l e w o s t r o n n i e c i g Ba .
" l i m F ( x ) = A · 0 = 0 d l a w s z y s t k i c h A , B i C
x ’!- "
" l i m F ( x ) = C = 1 , o i l e C = 1 , A i B - d o w o l n e .
x ’! "
" A b y F b y Ba n i e m a l e j c a n a c a Be j p r o s t e j m u s i m y m i e
A 0 , B 0
A = F ( 0 ) l i m F ( x ) = 0 , 2 5
x ’!0 +
B l n 2 + 0 , 2 5 = F ( l n 2 ) l i m F ( x ) = C - 0 , 5
x ’!l n 2 +
" Z a t e m f u n k c j a F j e s t d y s t r y b u a n t d l a C = 1 o r a z A i B s p e Bn i a j c y c h w a r u n k i :
0 A 0 , 2 5 , 0 B 0 , 2 5 / l n 2 .
" W t e d y P ( X l n 2 ) = l i m F ( x ) = 1 - 0 , 5 = 0 , 5
x ’!l n 2 +
" P ( X > - l n 3 ) = 1 - l i m F ( x ) = 1 - A e - l n 3 = 1 - A / 3
x ’!- l n 3 +
" P ( 0 < X < 1 ) = F ( 1 ) - l i m F ( x ) = 1 - e - 1 - 0 , 2 5 H" 0 , 3 8 2 1
x ’!0 +
5
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