Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki
matematycznej MAP2037
WPPT Fizyka, Fizyka Techniczna
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 7: Weryfikacja hipotez statystycznych. Pod-
stawowe parametryczne testy istotności i testy zgod-
ności.
Hipoteza statystyczna
przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu, jego postaci (hipoteza nieparametryczna)
lub parametrów (hipoteza parametryczna). Może być złożona lub prosta.
Na podstawie próbki weryfikujemy hipotezę - przyjmujemy ją albo odrzucamy. Zwykle
weryfikujemy hipotezę H względem pewnej innej hipotezy K (hipotezy alternatywnej).
Odrzucamy wtedy H na korzyść K. Metodę postępowania przy tej weryfikacji nazywamy
testem statystycznym.
Test budujemy na podstawie próby n-elementowej z wykorzystaniem statystyki testo-
wej ´(X1, X2, . . . , Xn). Wprowadzamy zbiór krytyczny W - zbiór odrzuceÅ„ hipotezy H;
c
dopełnienie tego zbioru, W , to zbiór przyjęć hipotezy H. Wtedy:
" jeÅ›li ´(x1, x2, . . . , xn) " W , to hipotezÄ™ H odrzucamy;
c
" jeÅ›li ´(x1, x2, . . . , xn) " W , to hipotezÄ™ H przyjmujemy.
Decyzja może być błędna:
Hipoteza prawdziwa fałszywa
błąd
przyjęta OK
II rodzaju
błąd
odrzucona OK
I rodzaju
Najlepiej, gdy oba błędy mają małe prawdopodobieństwo. Jednak dość trudno jest to
osiągnąć. W tym celu postępujemy następująco:
1. Ustalamy poziom istotności ą - prawdopodobieństwo błędu pierwszego rodzaju;
zwykle jest to mała liczba, np. 0,01 lub 0,05.
2. Wykorzystując statystykę testową konstruujemy zbiór krytyczny W tak, że praw-
dopodobieÅ„stwo, że wartość ´(x1, x2, . . . , xn)jest w zbiorze W jest maÅ‚e, równe lub
mniejsze od poziomu istotności ą, o ile hipoteza H jest prawdziwa, czyli
P (´(x1, x2, . . . , xn) " W |H) = Ä… (lub Ä…)
Ponadto wybieramy taki zbiór W , który jednocześnie przy ustalonym ą daje naj-
mniejsze prawdopodobieństwo błędu II rodzaju przy wybranej postaci hipotezy al-
ternatywnej K.
1
Weryfikacja hipotezy dotyczącej wartości średniej
(a) m < m0
H : m = m0 przeciwko K : (b) m > m0 (jedna z tych trzech postaci)
(c) m = m0

na poziomie istotności ą.
1. Przypadek, gdy X ma rozkÅ‚ad normalny N (m, Ã), gdzie à jest
znane:
" statystyka testowa ´(X1, X2, . . . , Xn) = U, gdzie
Å»
"
X - m0
U = n
Ã
Jeśli H jest prawdziwa, to U ma standardowy rozkład normalny N (0, 1).
" zbiór krytyczny W z zależności od hipotezy alternatywnej K to
(a) W = (-", -u1-Ä…]
(b) W = [u1-Ä…, ")
(c) W = (-", -u1-Ä…/2] *" [u1-Ä…/2, "),
gdzie uq dobrane tak, aby Åš(uq) = q dla Åš(u) - dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego.
2. Przypadek, gdy X ma rozkÅ‚ad normalny N (m, Ã), gdzie à jest
nieznane:
" statystyka testowa ´(X1, X2, . . . , Xn) = t, gdzie
Å»
X - m0 "
t = n - 1
S
Jeśli H jest prawdziwa, to t ma rozkład t-Studenta z n - 1 stopniami swobody,
-n/2
“(n/2) x2
"
czyli rozkład o gęstości f(x) = " 1 + .
n - 1 “((n - 1)/2) Ä„ n - 1
" zbiór krytyczny W z zależności od hipotezy alternatywnej K to
(a) W = (-", -tn-1(1 - Ä…)]
(b) W = [tn-1(1 - Ä…), ")
(c) W = (-", -tn-1(1 - Ä…/2)] *" [tn-1(1 - Ä…/2), "),
gdzie tn-1(q) dobrane tak, aby P (t tn-1(q)) = q na podstawie Tablicy 3.
rozkładu t-Studenta z n - 1 stopniami swobody.
2
3. Przypadek, gdy X ma dowolny rozkład o średniej m i skończonej
nieznanej wariancji Ã2, przy czym próba jest o dużej licznoÅ›ci
(n 100):
" statystyka testowa ´(X1, X2, . . . , Xn) = U, gdzie
Å»
"
X - m0
U = n
s
" zbiór krytyczny W z zależności od hipotezy alternatywnej K to
(a) W = (-", -u1-Ä…]
(b) W = [u1-Ä…, ")
(c) W = (-", -u1-Ä…/2] *" [u1-Ä…/2, "),
gdzie uq dobrane tak, aby Åš(uq) = q dla Åš(u) - dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego. (Wykorzystujemy tutaj CTG.)
Weryfikacja hipotezy dotyczÄ…cej wariancji, gdy X ma
rozkÅ‚ad normalny N (m, Ã)
2
(a) Ã2 < Ã0
2 2
H : Ã2 = Ã0 przeciwko K : (b) Ã2 > Ã0 (jedna z tych trzech postaci)
2
(c) Ã2 = Ã0

na poziomie istotności ą.
" statystyka testowa ´(X1, X2, . . . , Xn) = Ç2, gdzie
nS2
Ç2 =
2
Ã0
JeÅ›li H jest prawdziwa, to Ç2 ma rozkÅ‚ad chi kwadrat z n - 1 stopniami swobody,
czyli rozkład gamma G(1/2, (n - 1)/2).
" zbiór krytyczny W z zależności od hipotezy alternatywnej K to
(a) W = (0, Ç2 (Ä…)]
n-1
(b) W = [Ç2 (1 - Ä…), ")
n-1
(c) W = (0, Ç2 (Ä…/2)] *" [Ç2 (1 - Ä…/2), "),
n-1 n-1
gdzie Ç2 (q) dobrane tak, aby P (Ç2 Ç2 (q)) = q na podstawie Tablicy 4.
n-1 n-1
rozkładu chi kwadrat z n - 1 stopniami swobody.
3
Podstawowe testy zgodności
Testy zgodności służą do weryfikacji hipotezy postaci:
H : dystrybuantÄ… badanej cechy jest F0(x)
lub
H : gęstością badanej cechy jest f0(x)
lub
H : rozkład dyskretny badanej cechy jest dany przez pi = P (X = xi), i " I
na poziomie istotności ą. Funkcje w powyższej hipotezie mogą być w pełni określone lub
zależne od nieznanych parametrów.
1. Test Ç2 Pearsona:
H : dystrybuantą badanej cechy jest F0(x), gdzie F0(x) jest całkowicie określona
(rozkład może być dyskretny lub ciągły)
" z próby tworzymy szereg rozdzielczy i oznaczamy przez Nj liczność jtej klasy
o granicach xj-1, xj, j = 1, . . . , k
" obliczamy pj = F0(xj) - F0(xj-1)
" Nj to liczność doświadczalna jtej klasy, npj to jej liczność hipotetyczna. Jeśli
H jest prawdziwa, to ENj = npj.
" statystyka testowa ´(X1, X2, . . . , Xn) = Ç2, gdzie
k

(Nj - npj)2
Ç2 = ,
npj
j=1
JeÅ›li H jest prawdziwa, to przy ustalonym k i n " statystyka Ç2 ma asymp-
totycznie rozkład chi kwadrat z k-1 stopniami swobody. W praktyce wystarcza
n 100, klasy takie, żeby nj 8 i npj 5.
" zbiór krytyczny
W = [Ç2 (1 - Ä…), ")
k-1
gdzie Ç2 (q) dobrane tak, aby P (Ç2 Ç2 (q)) = q na podstawie Tablicy 4.
k-1 k-1
rozkładu chi kwadrat z k - 1 stopniami swobody.
Uwaga: Testu Ç2 Pearsona (w nieco zmodyfikowanej wersji) można używać także
do testowania hipotezy H w przypadku, gdy założymy tylko postać dystrybuanty
F0 zależną od kilku nieznanych parametrów.
4
2. Test Kołmogorowa:
H : dystrybuantą badanej cechy jest F0(x), gdzie F0(x) jest dystrybuantą rozkładu
ciągłego, całkowicie określoną
" statystyka testowa ´(X1, X2, . . . , Xn) = Dn, gdzie
Dn = sup |F0(x) - Fn(x)|,
x
gdzie Fn(x) to dystrybuanta empiryczna.
Jeśli H jest prawdziwa, to statystyka Dn Kołmogorowa ma rozkład, dla którego
dn(ą) takie, że P (Dn dn(ą)) = ą, podane są w tablicach statystycznych.
" zbiór krytyczny
W = [dn(Ä…), 1]
5