54300

7. Zgodność i mocna zgodność estymatora

1. Pokazać, że A = n/(Xi H-----h X„) jest mocno zgodnym ciągiem esty

matorów parametru A rozkładu wykładniczego o gęstości

f\(x) = Aexp(—Xx), x > 0, A > 0.    (0.1)

2.    Zmienna X ma rozkład o gęstości

f_m(x) =    0 < X < 1,    0 < m < 1.

Dla próby n-elementowej przyjęto, że X jest estymatorem parametru m. Czy jest to estymator zgodny?

3.    Niech X = (Xi,____X_n) będzie próbą z rozkładu wykładniczego o gęs

tości (0.1). Pokazać, że estymator T_n(X) = nXi_:„ funkcji g(\) = \ nie jest zgodny.

•1. Niech X = (A'i.....A'_n) będzie próbą z rozkładu gamma </(a,A) o

gęstości

/o.A(x) =

x^Q_1 exp(—x/X) A°T(a)

x > 0. o, A > 0.

gdzie a jest znane, a A nie znane. Udowodnić, że jeśli na > 1, to statystyka T„(X) —    ~*_v jest nieobciążonym i mocno zgodnym esty

matorem funkcji </(A) = 1/A.

5. Niecłi X = (Aj.....X_n) będzie próbą z rozkładu o gęstości

/<>(*)=    l+8x),    —1 < x < 1,    -K0C1.

Wyznaczyć zgodny estymator parametru 0.

0. Niech X = (Xi,....X„) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale [0 - 1/2,0 + 1/2], 0 € R. Pokazać, że statystyka T(X) = 5(A|_:n + A_n;n) jest zgodnym estymatorem 0.

7. Pokazać, że

A = - In fi - i#{l < i < n : X_ń > 0}^

jest mocno zgodnym estymatorem parametru A w rozkładzie Poissona V(X).

1