55112

1) Wstęp

Ekstrapolacja Riehardsona polega na obliczaniu dokładniejszej wartości całki na podstawie dwóch wartości wyznaczonych numerycznie dla różnych wielkości podprzedziałów, na jakie podzielony jest przedział całkowania. Metodę można użyć wtedy, gdy dysponujemy wzorem na błąd metody całkowania.

Zastosowanie ekstrapolacji Riehardsona do metody trapezów przybliżonego całkowania Błąd metody trapezów wyraża wzór

(1)

12

Niech (/*!) będzie przybliżoną wartością całki wyznaczoną metodą trapezów, a błędem obliczenia całki przy wielkości podprzedziału . Wówczas dokładną wartość całki można wyznaczyć z równania

.2

/s /,(/!,) +R,(h₁)s/₁(h₁) + ch₁^: (b-a)f ' ,

gdzie c =

12

(2)

jest stałą ( przy założeniu, że f jest niezależne od wielkości

podprzedziału h). Analogicznie, gdy/₂( ^2) J^est przybliżoną wartością całki wyznaczoną metodą trapezów, a ft₂(h₂) błędem obliczenia całki przy wielkości podprzedziału h₂, można napisać

/ = /₂(h₂) + ą(h₂) = /₂(h₂) + ch*    (3)

Po przyrównaniu prawych stron równań (2) oraz (3) otrzymujemy /,(/!,) + ctf S /₂(/lJ + c/l₂    (4)

Z równania (4) wyznaczamy c

C =

hf-hi

(5)

Po podstawieniu prawej strony równania (5) do równania (3) dostajemy

= I₂[h₂)+ W

(6)

-1

Błąd zależności (6) jest rzędu o(h^Ą), podczas g(h/ błąd metody trapezów jest rzędu o(h²).

2) Ekstrapolacja Iterowana Riehardsona

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem h. Wynikiem jej działania jest F(h). wartością dokładną jest F(0). Trudności obliczeniowe rosną gdy h maleje.

2