82155

str 5

W6/7

Aproksymacja wielomianowa i trygonometryczna

Funkcje ^ określają postać funkcji aproksymująccj. Rozpatrzymy wielomiany algebraiczne i funkcje trygonometryczne

Jeżeli funkcje 0^ są wielomianami stopnia j (j = 0,1,2 ,    , m), to F_m jest wielomianem stopnia

co najwyżej m. Wtedy funkcją optymalną F_m nazywamy m-tym wielomianem (algebraicznym) optymalnym.

W przypadku jednomianów 0j(x) * x^J , już dla niedużych m (m>5) układ równań normalnych

jest źle lub bardzo źle uwarunkowany (W13). W przypadku przybliżeń wielomianowych z wyjątkiem , gdy m jest bardzo małe, nie należy stosować takiego wyboru funkcji 0j. Należy

stosować tzw. wielomiany Grama ; omówienie tych problemów przekracza ramy wykładu.

Uwaga. Przy aproksymacji takimi wielomianami macierz G jest macierzą diagonalna.

W zagadnieniach aproksymacji cząsto spotykamy sią z przypadkiem, gdy y; są wartościami pomiarowymi pewnego zjawiska, o którym wiadomo, że ma przebieg okresowy. Wtedy do aproksymacji korzystniej jest stosować wielomiany trygonometryczne, a nie algebraiczne.

Niech a> ■ (l,sin(x),cos(x).sin(2x),cos(2x)......sin(k x),cos(kx)) ( 2-k£n).

Rozważamy na odcinku [0,2 rt] aproksymacją trygonometryczną postaci

k

F2 k+i(x) ■ a₀ + (a_rcos(j x) + bj Sin(j x)) j = >

na zbiorze równoodległych punktów

0,1......n

2xi

*i =

n + 1

Na tym zbiorze punktów macierz Grama jest macierzą diagonalną. Ponadto

■•■irTrŻ* *i⁼drŻ ^ViC0*^ix>) bi⁼drŻ

Powiedzmy, żc mamy ustalony układ funkcji (0_O, 0j • $2 * — »0_m. •••) • Uiczbą funkcji przybliżających, czyli wartość (m ♦ 1), ustalamy na podstawie analizy modelu badanego

zjawiska lub wyznaczając kolejne funkcje optymalne F_m (m = 0, 1,2......) i obliczając

kwadrat średniego błądu

(O²

Hm

■

n - m

gdzie Hn, jest odchyleniem średniokwadratowym dla m-tej funkcji optymalnej F_m. Obliczenia te prowadzimy tak długo, aż (oj² maleje w sposób istotny. Wartość m, po której (oj² już niemaleje znacznie, wyznacza układ funkcji przybliżających 0_O, b,,ó₂,..., 0_m