82318

6.2 Całka wielokrotna na przedziale domkniętym

Niech B(F) oznacza zbiór funkcji ograniczonych na przedziale domkniętym P C 7Zⁿ. Będziemy rozpatrywać funkcje / € B (P).

Definicja 6.4 (Podział przedziału domkniętego)

Podziałem przedziału P € V." nazywamy zbiór przedziałów domkniętych IT = f P[. P-2,.... P_n,} takich, że

1.    P = U"=, Pr

2.    intPi f| intPj = 0. dla i ± j

Definicja 6.5 (Średnica zbioru ograniczonego)

Średnicą zbiory ograniczonego A nazywamy liczbę d(4) =    d(R. Q)

Definicja 6.6 (Średnica podziału 11)

Liczbę <j(lł) = iuaxi₌i.2.„._łfn 6(Pi) nazywamy średnicą podziału 11.

Definicja 6.7 Ciąg podziałów {n(/>)}^ _x nazywamy normalnym, jeśli

lim <7(ⁿ(p)) = 0

Dla danego podziału 11 wybieramy zbiór punktów pośrednich

.V = {E_f; i = 1,2...,m : Z, £ P,\

Definicja 6.8 (Suma całkowa Riemanna)

Każdemu podziałowi FI i związanemu z nim zbiorowi punktów pośrednich X przypór ządkowujemy wartość

nu. u, a) = £/(=,) in{yi)

<=1

zwaną sumą całkową Riemanna.

Uwaga 6.1 Każdemu ciągowi podziałów {FI(/>)}J^_₁ i ciągowi punktów pośrednich {A (p)}p_:1 odpowiada ciąg sum całkowych

Definicja 6.9 (Całka Riemanna)

Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału P i dowolnego ciągu punktów pośrednich ciąg sum całkowych {/?.(/, U(p). X(p))}^ jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, to mówimy . że funkcja f jest całkowalna na przedziale domkniętym P. a granicy ciągu sum całkowych {/?(/. II(/>), A'(p))}^i₁ nazywamy całką Riemanna funkcji f i oznaczamy

27