89696

9

Tadeusz Świrszcz, Matematyka, rok ak. 06/07, sem. 2

1.5. Punkt (x₀.jfo) nazywa się warunkiem początkowym. Mówimy, że rozwiązanie y = ip(^x) spełnia warunek początkowy (x₀, y₀). jeśli zachodzi równość (3).

1.6. Równanie o zmiennych rozdzielonych jest to równanie postaci:

y' = g{x)h{y).

Jeśli g(x) jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale (o, 6) oraz h(y) i hf(y) są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale (c.d). to funkcja f{x,y) = g(x)h(y) spełnia założenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań w zbiorze U = (a. 6) x (c. d). Dla każdego punktu (ar₀,yo) zbioru U istnieje zatem dokładnie jedno rozwiązanie *?(x) równania y' = g(x)h(y) określone w- pewnym otoczeniu punktu x_Q spełniające warunek początkowy (xq, //o)- W przepadku równania o zmiennych rozdzielonych rozwiązanie to może być efektywnie znalezione.

Jeśli h{y₀) = 0, to rozwiązaniem jest funkcja stała ip(x) = y₀.

Jeśli h(y₀) / 0. to równanie możemy przedstawić w^r postaci

g(x)dx

dy

h(y)

w pewnym otoczeniu punktu (xq, yo). Całkując obydwie strony i wykorzystując warunek początkowy otrzymujemy rozwiązanie w postaci uwikłanej

H(y) = G(x) + H(y₀)-G(x₀),

gdzie H'(y) = —-— w pewnym otoczeniu jfo i G'(x) = g(x) w pewnym otoczeniu :r₀.

h(y)

Funkcja H(y) jest ochyracalna w^r pewnym otoczeniu punktu j/o-

1.7. Równanie jcdnowdnc jest to równanie postaci

W celu rozwiązania tego równania stosujemy podstawienie

| = u(x).

Wtedy y = ux i yf = u'x -f u. Po podstawieniu otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

u'x + u = /(ti)

z now^fą funkcją niewiadomą u = u(x).

2. Równanie liniowe rzędu 1 i równanie Bernoulliego

2.1. Róumanie liniowe rzędu 1 jest to równanie postaci

y' = 9(*)y + h(x)    W*

Jeśli funkcje y(x) i h(x) są ciągłe w przedziale («,&), to funkcja f(x,y) = g(x)y + h(x) spełnia założenia twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań w zbiorze U =