6830719455

1

Tadeusz Świrszcz, Matematyka, rok ak. 06/07, sem. 2

1. Równania różniczkowe rzędu 1

1.1.    Równania, w których niewiadomymi są funkcje jednej lub kilku zmiennych, i które zawierają także pochodne niewiadomych, nazywają się równaniami różniczkowymi. Jeśli niewiadomymi są funkcje wielu zmiennych, równania nazywają sie równaniami różniczkowymi cząstkowymi, a jeśli niewiadomymi są funkcje jednej zmiennej, równania nazywają się równaniami różniczkowymi zwyczajnymi Będziemy się zajmowali równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.

1.2.    Rzędem równania różniczkowego nazywamjy najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej występującej w tym równaniu. Na początku będziemy się zajmowali równaniami różniczkowymi rzędu 1. Takie równanie może być przedstawione w postaci

F{x,y,y') = 0.    (1)

W równaniu tym x jest zmieną niezależną, y szukaną funkcją, y' — dy/dx jej pochodną, a F jest daną funkcją trzech zmiennych. Zakładamy, że funkcja F jest określona w pewnym podzbiorze otwartym U przestrzeni R³.

1.3.    Definicja. Funkcja h — <p(x) określona w pewnym przedziale otwartym (a, 6) (przy czym może być a — —oo, b — +00), nazywa się rozwiązaniem równania (1) jeśli

1° <f'(x) istnieje i (x, <p(x), <p'(x)) £ U dla każdego x £ (a, b),

2° F(x, <p(x), <p'{x)) = 0 for all x £ (a, 6).

Czasami równanie (1) daje się przedstawić w postaci

y' = f(x,y),    (2)

gdzie / jest funkcją określoną w pewnym podzbiorze otwartym U przestrzeni R². Równanie w postaci (2) nazywamy równaniem rozwiązanym względem pochodnej. Nietrudno zauważyć, że funkcja y — <p{x), określona w pewnym przedziale otwartym (0,6), jest rozwiązaniem równania (2) wtedy i tylko wtedy, gdy 1° (x,ip(x)) £ U dla każdego x £ (a, b),

2° tp'(x) istnieje i <p'(x) — f(x, <p(x)) dla, każdego x € (a, b).

Zbiór wszystkich rozwiązań równania różniczkowego nazywamy rozwiązaniem ogólnym tego równania.

1.4.    Twierdzenie (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań). Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną w pewnym zbiorze otwartym U C R². Jeśli funkcja f i jej pochodna cząstkowa df/dx są ciągłe w U, wtedy dla każdego punktu (ar₀, ya) zbioru U istnieje rozwiązanie y — p(x) równania

y' = /(*, y)    (2)

określone w pewnym otoczeniu 0(xo, S) punktu x_G spełniające warunek

= yo■    (3)

Jeśli y — ip(x) jest także rozwiązaniem równania (2) określonym w pewnym otoczeniu otwartym O(xo,r) punktu aro takim, że

^(*0) - lfo>

to ip{x) — <p{x) dla x £ O(xo, 5) fi 0(xq, r).