89702

3. Minorem macierzy A nazywamy każdy wyznacznik macierzy kwadratowej, powstałej z macierzy A przez wykreślenie z niej pewnej (być może równej zeru) ilości wierszy i/lub kolumn.

Przykład:

‘ 1 0 4 3 0 ₍

wykreślamy wiersz nr 2 i kolumny nr 2. 3 i 5

0 4 8 2 1 110 0 4

Jednym z minorów macierzy A jest det

1 3 1 0

= -3

4. Rzędem macierzy A (oznaczamy go symbolem rz A) nazywamy taką liczbę r, że Istnieje co najmniej jeden minor stopnia r różny od zera, a wszystkie minory macierzy A stopnia większego niż r (jeżeli istnieją) są równe zeru.

Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeżeli dokonamy operacji wierszowych na wierszach macierzy A lub analogicznych operacji na kolumnach. W praktyce, można również pomijać (skreślać) zerowe wiersze macierzy, co wprawdzie nic jest zaliczane do operacji elementarnych na wierszach, ale również nie zmienia rzędu macierzy.

Liczenie rzędu tą metodą jest zwykle bardziej efektywne niż za pomocą sprawdzania wielu minorów (zwłaszcza jeżeli okazuje się, że jest wiele „dużych” minorów równych zeru). Z minorów korzysta się często w końcowej fazie, po znacznym uproszczeniu postaci macierzy, tak aby odpowiednie minory dały się łatwo policzyć (i aby było łatwo wybrać taki minor, którego niczerowość decyduje o rzędzie macierzy). Wreszcie, jeżeli liczenie rzędu macierzy ma służyć do badania rozwiązań układów równań liniowych (np. z myślą o zastosowaniu twierdzenia Croneckera-Cappelli'ego) i trzeba konkretnie wyznaczyć te rozwiązania (a nie tylko zbadać, czy rozwiązania te w ogóle istnieją, czyli czy dany układ równań jest niesprzcczny), to należy się starać wykonywać operacje elementarne jedynie na wierszach macierzy (rozszerzonej układu równań), gdyż takie operacje prowadzą bezpośrednio do utyznaczenia wszystkich rozwiązań. Nb.: wykonując operacje elementarne tylko na wierszach macierzy rozszerzonej układu równań powiedzmy [4, B] można obliczywszy rząd tej macierzy, automatycznie (tzn. już bez jakichkolwiek dalszych przekształceń) otrzymać także rząd samej macierzy układu czyli A.

1. Znaleźć iloczyny macierzy:

(a)

2 -2 4
! -1 2

0

-1

1

[1 -2 ' ]

c)

1 2 1 3

0 -3

b)

[ 213 510 128 ]

3

-1

-1

' 5	2	-2	3 '		2	2	2	2 '		1	1	1 -1 '		7	-2	3	4 ‘
G	4	-3	5		-1	-5	3	11	d)	-5	-3	-4 4		11	0	3	4
9	2	-3	4		16	24	8	-8		5	1	4 -3		5	4	3	0
7	G	-4	7		8	16	0	-IG		-16	-11	-15 14		22	2	9	8

2. Przeliczyć, że gdy

A =

' -6	-4	-2 '		0	1	-2 ‘
-9	-6	-3	. B =	-1	0	3
3	2	1		2	-3	0

, to AB = 0, zaś BA 0.

3.    Znaleźć warunek konieczny i dostateczny na to, aby (A + B)² = A² + 2AB + B². Odp.: AB = BA.

4.    Znaleźć macierze? odwrotne do danych:

	' 1	2	2 '		' 3	2	G '
a)	2	1	-2	b)	1	1	2	c)
	2	-2	1		2	2	5

12 3 4 0 12 3 2 10 0 3 0 11

d)

1

1

-1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

1

a)

5. Obliczyć macierz odwrotną do macierzy

a b c d	■b)	cos <p cos i) —r sin cos # rt	sin p cos # r cos <p cos # • ■ a	sin # 0	. c)	Z\ -Ż2	^2 Ż\
		—r cos <f cos u	—rsin^sm u	r cos v)

(Zi,z₂ - liczby zespolone).

(Wsk.: Wyznacznik drugiej macierzy to jakobian przejścia do współrzędnych sferycznych, czyli r² cos#.)