2808185498

2. Równanie kinetyczne Boitzmanna i czas relaksacji.

Rozwiązując równanie Schródingera, Boltzmann uwzględnił oddziaływania z defektami. Stworzył klasyczne równanie transportu.

Rozład równowagowy z poziomem Fermiego: /o (E) = _E__E-

Modyfikujemy funkcję rozkładu: f{E) = f₀(E) + f_y (E), gdzie f₀(E) » f_y (E)

Zakłada się, że ta nowa funkcja będzie stacjonarna.

Energia w zależności od wektora falowego:

2m*    2m*

Po przyłożeniu zewnętrznego pola elektr. zmienia się rozkład - następuje przesunięcie kuli Fermiego. Zmiana funkcji rozkładu w czasie:

tfJśC\ JśC

dt ydt \dt J^

I    I

człon dryfowy człon zderzeniowy

Aby opisać klasycznie cząstkę, trzeba podać jej położenia i prędkości: x,y,z,k_x,k_y,k_z - współrzędne

w 6-wymiarowej przestrzeni fazowej. Dryf odbywa się w przestrzeni fazowej. Możemy z niej wydzielić jedną komórkę i rozważyć przepływ cząstek. Po czasie Ar do komórki wpłyną cząstki, które były przed nią, stąd przed wyrażeniem v-Ar stawiamy minus:

Ąf-f x-Ar, y-v_yAt, z-v_zAt,k_x~k_x Ar, k_y -k_y Ar, k_z -k_z Arj- f(x, y, z, k_x,k_y,k_z) wartość funkcji w czasie t + Ar Obliczamy pochodną z definicji:

Ę-— + ....=-rV- f-k V- f=(^ Bx dt    ^r    k [dt

dt Ar

To był człon dryfowy, teraz człon zderzeniowy:

^7-    = a(k'-yk )-b(k->k'), gdzie a, b

y.dtj^

i    i

zderzenia, które    przejścia

ze stanów ~k'    w odwrotnym

przeprowadzają    kierunku

do stanów k

\^al J dryf

całki zderzeniowe

df (df\

Stąd: -7-= -7- +a-b dt v dt) _iryj

Boltzmann założył, że zmiany są wolne w czasie - ustala się stan stacjonarny: człon dryfowy zrównuje się ze zderzeniowym i pochodna się zeruje.

Stąd równanie Boitzmanna ma postać:

• •

0 = —r V- f-kV- f + a-b

T    K