1673068229

FUNKCJE ANALITYCZNE

11

Dowód. Załóżmy najpierw, że Zq £ T. Przez 21,22 >23 oznaczmy wierzchołki T. Rozpatrując punkty (Zj + Zk)/2, j, k = 1,2,3, dzielimy trójkąt T na cztery trójkąty T¹,..., T⁴. Mamy wtedy

[ f(z)dz = J2f f(^z)^dz-Jar    j₌₁ Jan

Wybierając jako Ti odpowiedni z trójkątów T¹,... ,T⁴ otrzymamy f /(2)d2 < 4 /    /(2)d2 .

\JdT    I UdT,

Zauważmy także, że l{dT\) = l(dT)/2. W ten sam sposób wybieramy indukcyjnie trójkąty T_n, n = 1,2,..., tak, że

f f(z)dz <4 \f /(2)d2 JdT_n-1    Uar_n

oraz l(dT_n) = l(dT_n-\)/2. Otrzymaliśmy zatem zstępujący ciąg trójkątów T_n taki,

(4.1)

[ f(z)dz\ < 4" I f f(z)dz \JdT    I I JdT„

l(8T_n) l(dT) 2 ~ 2"+' '

Z twierdzenia Cantora wynika, że

dla pewnego z € T. Z C-różniczkowalności / w z mamy

f(z) = f(z) + (f'(z) + e(z))(z-z),

gdzie

lim e(z) = 0.

Ponieważ funkcja f(z) + f'(z)(z — z) ma pierwotną, z (3.1) i (3.3) wynika, że \f f(z)dz = \f e(z)(z — z)dz < l(dT_n)di&m(T_n) max|e|.

| JdTn    I I JdTn    I    ^Tn

Korzystając z (4.1) i (4.2) otrzymamy dla każdego n

I / f(z)d.

\JdT

, (« , .

■z| <    max|q,