24411

Dowód Sprawdzimy najpierw, że relacja ~/ jest relacją równoważności.

1.    Zwrotność: a a bo a — a = 0/> € /.

2.    Symetryczność: jeśli a^_l b to a —b£ 7, stąd b — a = —(a — b) G 7, a więc 6 a.

3.    Przechodniość: jeśli a ~/ 6 i 6 ~/ c to a — b € /, 6 — c 6 /. Wtedy a — b+b — c = a — cel i mamy a ~/ c.

Teraz pokażemy, że spełnione są własności kongruencji:

a b c ~/ d

Vo,6, c,d e P :

a + c'-/ 6 + d ac ~/ bd

Rzeczywiście jeśli a ~/ /> i c d to a — b € / oraz c — d e /. Wtedy (a + c) — (6 + d) = (a — b) + (c — d) e /, zatem o + c ~/ b 4- d. Podobnie ac — bd = ac — bc + bc — bd = (a — b)c + b(c — d) e I, więc ac ~/ 6d. Wyznaczmy klasę abstrakcji elementu o, [a] = {6 € P : b — a e /} = {6 e P : 6 € a + 7} = a + /.□

Oznaczmy przez P/I zbiór klas abstrakcji relacji relacji ~/ z powyższego twierdzenia, a więc:

P/I = {[a] : aeP)

W zbiorze P// możemy wprowadzić działania:

[a] ® [6] = [a + 6]

[oj © [6] = [a6)

lub korzystając z zapisu [o] = o + /:

(o + /) + (6 + /) = a + 6 + /

(o + /)(6+/) =ab+I

Zauważmy, że klasy abstrakcji o + / mają własności:

(i)    o + / = 6+7 <=> a —bel.

(ii)    a + 7 = / a € I.

Twierdzenie 2 Struktura (P//.+, •) jest pierścieniem. Jeśli P jest przemienny to P/I też. Jeśli P ma jedynkę 1 /> to P/I ma jedynkę l/> + /.

Pierścień P/I nazywamy pierścieniem ilorazowym. Przykład Niech P — Z₆. I = {0.3} wtedy:

[0]    = 0 + / = / = {0.3}

[1]    = H-/= {1,4}

[2]    = 2 + 7= {2,5}

Wyniki działań opiszemy w tabelkach:

2