5600235769

2 Funkcje 7

2 Funkcje

Niech X, F będą dowolnymi, niepustymi zbiorami. Mówi się, że relacja binarna /Cl x F jest funkcją, gdy

(1) dla każdego x € X istnieje taki y G F, że (:r,y) G /,

(2) dla dowolnych a: G X, yi,y2 G F jeśli (a;,yi) G / oraz (a;,2/2) € /, to musi być 2/1 = 2/2-

Druga własność funkcji oznacza, że element x G X jednoznacznie wyznacza element y G F, który jest z nim w relacji /. Pozwala to dla funkcji / pisać f(x) zamiast y, czyli /(x) = y, zamiast (a;,y) G /.

Przykład 2.1. Niech X = {1,2,3}, F = {a,b,c,d}, pi,p2QX x F oraz

p, = {(1, a), (2,6), (1, d)}, p₂ = {(1, a), (2,6), (3, d)}.

Relacja p\ nie jest funkcją, bo dla 3 G X nie ma y G F takiego, aby (3,2/) € p\. Poza tym, 1 jest w relacji z a oraz z d. Relacja p2 jest funkcją.

Zamiast pisać, że / C X x F dla funkcji piszemy /: X —> F i mówimy, że / odwzorowuje zbiór X w zbiór F.

Funkcja / jest iniekcją (jest różnowartościowa), gdy dla dowolnych x\,X2 G X jeśli f(xi) = f(x2), to musi być x\ = X2-

Przykład 2.2. Rozważmy funkcję /: R —» R, daną wzorem f(x) = x+2. Sprawdzimy, czy jest ona różnowartościowa. Niech X\,X2 G R. Załóżmy, że f(x 1) = /(a^). Po podstawieniu do wzoru mamy x\ + 2 = £2 + 2, co jest prawdą tylko gdy x\ — X2-To oznacza, że funkcja / jest różnowartościowa.

Przykład 2.3. Funkcja / : R —> R, dana wzorem f(x) = x² nie jest różnowartościowa bo dla x\ = —1 i £2 = 1 mamy f{x\) = 1 = /(a^).

Funkcja / jest surjekcją (jest na), gdy dla dowolnego y G F istnieje taki a; G X, że /(x) = y.

Przykład 2.4. Funkcja /: R —► R, dana wzorem /(x) = a;² nie jest na (nie jest surjekcją) bo dla y = — 1 nie ma takiego x G R aby f(x) — x² — —1. Funkcja g dana tym samym wzorem g(x) = x², ale określona na innym zbiorze g: R —» (0,oo) jest surjekcją bo dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej y możemy wziąć pierwiastek i równanie y = x² ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie: x = yfy.

Zuważmy, że w powyższym przykładzie, gdy zmienimy przeciwdziedzinę funkcji / na zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych, to znaczy weźmiemy funkcję g: R —* [0,00) określoną tym samym wzorem g(x) = x², wówczas funkcja g jest surjekcją. Mimo, że obie funkcje mają ten sam wzór i tę samą dziedzinę, to nie są one równe, bo mają różne przeciwdziedziny.

Funkcja, która jest jednocześnie iniekcją i surjekcją to bijekcja. Przykładem bi-jekcji jest funkcja z przykładu 2.2. Wystarczy bowiem zauważyć, że jest ona surjekcją, gdyż dla dowolnego y G R bierzemy x = y — 2 i sprawdzamy, że

f(x) = x + 2 = y — 2 + 2 = y.