2567802542

(iii) dla każdego x E E istnieje zbiór A(x ) o mierze Lebesgue ’a równej zero taki, że dla każdego t g A(x*), (x*x)'(t) = x' [f (t,x(t), k(t, s, x(s))ds) j, gdzie pochodna jest rozumiana jako pseudo-pochodna.

Twierdzenie 2.12 (15). Załóżmy, że dla każdej jednostajnie ACG, funkcji x:I_a-*E, funkcje /c(-,s,x(s)), /(•, *(■),    * /c(-, s, x(s))ds), są całkowalne w sensie HKP oraz funkcje k(t,s,-), f(t;;)

są słabo-słabo ciągowo ciągłe. Załóżmy, że istnieją stałe c_vc₂,c₃ > O takie, że dla dowolnych ograniczonych zbiorów A.C c B, I c I_a zachodzi /?(/(/, A, C)) < c_x • fi (A) + c₂ • fi(Cj.

Ponadto fi {kij, I,X) < c₃ • fi(Xj, X c B, I c I_a, gdzie

f(l,A,C) = {f(t,x₁,x₂): (t,x₁,x₂) 6 / x A x C), k(I, I,Xj = {k(t,s,x): (t,s,x) 6 IxIxX).

Załóżmy, że zbiory K oraz K_x są jednakowo ciągłe i jednostajnie ACG, na przedziale I_a. Wtedy istnieje pseudo-rozwiązanie problemu (2.3) na przedziale /<* dla d takiego, że O < d < a oraz O < d • c_x + d² • c₂ • c₃ < 1. Zbiór S wszystkich pseudo-rozwiązańproblemu (2.3) na przedziale l_d jest słabo zwarty i spójny w przestrzeni C(l_d, E), co).

W pracy (15) podano także prawdziwość powyższego twierdzenia przy innych warunkach na zmniejszanie miary niezwartości fi.

Wyżej omówione wyniki zostały już uogólnione w pracy [13], dotyczącej rozwiązań funkcjonalnych równań całkowych.

2.3. Równania dynamiczne na skali czasowej.

W ostatnich latach przeprowadzono wiele badań naukowych w zakresie równań dynamicznych w celu ujednolicenia wyników dotyczących równań różnicowych i różniczkowych [3-5, 8, 14, 18, 28-30, 42-43, 54, 63, 77, 98-99, 101, 108-109, 112-113]. Jednak dynamiczne równania w przestrzeniach Banacha, którymi się zajmuję, stanowią zupełnie nowy obszar badań, a wyniki uzyskane przeze mnie są pierwszymi tego typu.

Równania dynamiczne na skalach czasowych, których szczególnymi przypadkami są równania różniczkowe (jeśli T = R) i odpowiadające im równania różnicowe (jeśli T = N) pozwalają nam na ujednolicenie badań zagadnień brzegowych na przedziałach dyskretnych, rzeczywistych, a także ich kombinacjach.

Zagadnieniu różniczkowemu Cauchy’ego x'(t) = f(t, x(t)) oraz zagadnieniu różnicowemu Cauchy’ego poświęcono dużo miejsca w literaturze. Istnienie i własności rozwiązań zostały zaprezentowane z różnego rodzaju warunkami.

Badanie słabych rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego w przestrzeniach Banacha zostało zainicjowane przez Szepa w pracy [102]. Twierdzenia o istnieniu słabych rozwiązań tego problemu zostały udowodnione między innymi w pracach [40, 43, 44]. Podobne metody rozwiązywania problemów

14