2967511588

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.

cos 2a = cos²a - sin² ar,    sin 2a = 2 sin ar cos ar, po przekształceniach otrzymujemy wzory :

(5.1)

<7,+<7, o_K-a_x

<7 = —^;-— + —--cos 2a + t„. sin 2a,

<7_X - O

z.. = — --sin 2 a + z,

2

cos 2a,

(5.2)

podające wartości naprężeń normalnych i stycznych na płaszczyźnie przekroju, o wersorze normalnym nachylonym pod kątem a do osi X. Dodatnim wartością tych naprężeń

odpowiadają zwroty zgodne ze zwrotami wersorów v oraz s , gdyż są to miary rzutów wektora naprężenia p_v\p_vx, p_n.) na osie wyznaczone tymi wersorami.

Policzmy ile wynosi suma naprężeń normalnych na dwóch dowolnych ale wzajemnie prostopadłych płaszczyznach przekroju.

Korzystając ze wzoru (5.1) otrzymujemy: a_x +cr_v <j_x — o

cr„ „ + er,,¹-- + —--cos2a + z„. sin 2a +

' ' 2 2 ^}

C7, +CT., CT -(T.    /    /    _n\

+ —-—- + ———- cos 2{a + 90 )+ r_xy sin 2(« + 90j= a_x + cr_v

dowodząc w ten sposób, iż: w płaskim stanie naprężenia suma naprężeń normalnych na dwóch do siebie prostopadłych płaszczyznach jest wielkością stałą lub, inaczej, że suma naprężeń na przekątnej macierzy naprężeń jest niezmiennikiem tzn. nie zmienia swej wartości przy zmianie układu, w którym jest określana. Twierdzenie to odnosi się również do przestrzennego stanu naprężenia.

5.2. Ekstremalne naprężenia normalne i styczne

Inżyniera analizującego stan naprężenia w danym punkcie interesują przede wszystkim występujące w nim ekstremalne wartości naprężeń normalnych i stycznych.

Postawmy więc dwa bardzo ważne zagadnienia do rozwiązania:

•    na jakiej płaszczyźnie przekroju występują i ile wynoszą ekstremalne naprężenia normalne,

•    na jakiej płaszczyźnie przekroju występują i ile wynoszą ekstremalne naprężenia styczne. Aby rozwiązać te oba zagadnienia należy wyznaczyć ekstremalne wartości funkcji a,, =<7„(ar) oraz r_v =r_y(a).

Zaczniemy od naprężeń normalnych.

Pochodna funkcji cr, = (7,,(ar) przyrównana do zera d(7„    <7 — <7

—- = -2—--sin2a + 2T_ncos2a =0 ,

da    2    **

41