3148972990

1.3. Kołczany z translacją

podkołczanu Q' kołczanu Q i /' := IC\KQ'. Zauważmy, że gdy B jest wypukłą podalgebrą algebry A, to dzięki utożsamieniu modułów z reprezentacjami każdy B-moduł jest w naturalny sposób A-modułem, zaś dla każdego A-modułu M mamy zdefiniowane obcięcie M\b modułu M do algebry B.

1.3. Kołczany z translacją

Układ r = (r'o,r₁,r) nazwiemy kołczanem z translacją, jeśli (Fo,Fi) jest lokalnie skończonym kołczanem bez pętli, zaś r :    —► r₀ funkcją różnowar-

tościową taką, że C Tą oraz dla każdego z £ Tó i y £ Tq ilość strzałek z y do z jest równa ilości strzałek z tz do y (w szczególności (tz)⁺ = z~, co jest wystarczające, gdy w kołczanie T dowolne dwa wierzchołki łączy co najwyżej jedna strzałka). Jeśli ponadto z^- ^ 0 dla każdego z £ Tg, to kołczan T nazwiemy właściwym. Funkcję r będziemy nazywać translacją. Wierzchołki kołczanu Tą, które nie należą do Tg, nazwiemy projektywnymi, zaś wierzchołki, które nie należą do r(ró), injektywnymi. Każdy zbiór postaci {r^kx | /c £ Z} dla pewnego x £ To tworzy t-orbitą, r-orbitę bez wierzchołków projektywnych i injektywnych nazywamy stabilną. Kołczan, którego wszystkie r-orbity są stabilne (tzn. taki, dla którego = r₀ i r jest bijekcją) nazywa się stabilny.

Niech r = (r₀,ri,T)ir = (ró,r^,1,T^/) będą dwoma kołczanami z translacją. Kołczan T' jest pełnym podkolczanem z translacją kołczanu F. jeśli (ró, Ti) jest pełnym podkolczanem kołczanu (Fo,Fi) oraz t'x = y wtedy i tylko wtedy, gdy x,y £ T'₀ oraz rx = y. Właściwy i skierowany kołczan z translacją T nazwiemy preprojektywnym, jeśli ma on skończenie wiele r-orbit, z których każda zawiera wierzchołek projektywny. Jeśli T' jest składową kołczanu z translacją T, która jest preprojektywna, to wierzchołki kołczanu T' będziemy nazywać preprojektywnymi. Dualnie definiujemy kołczan preinjek-tywny i wierzchołki preinjektywne.

Niech Q = (Qo, Qi) będzie lokalnie skończonym kołczanem. Zdefiniujemy stabilny kołczan z translacją ZQ następująco. Zbiorem wierzchołków (ZQ)₀ kołczanu ZQ jest zbiór Z x Qo, zaś dla każdej strzałki a : x —> y w Q i każdej liczby n £ Z, mamy strzałki (n, a) : (n,x) —* (n,y) i (n, a)' : (n — l,y) —> (n, x) w UQ. Ponadto definiujemy translację r : Z x Qq —^► Z x Qq wzorem

r(n, x) := (n — l,x)

dla n £ Z, x £ Qq. Jeśli / C Z, to przez IQ oznaczamy pełny podkołczan z translacją kołczanu ZQ o zbiorze wierzchołków / x Q₀.