3475915939

18

ROZDZIAŁ 4. GRANICE I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

10. Dla jakiej wartości a funkcja

dla x ^ 2 dla x = 2

jest ciągła.

11.    Zdefiniuj wartości poniższych funkcji w 0 tak, by były ciągłe w R:

f(x)    =    ®²sinA,

»(*) =

12.    Zbadaj ciągłość funkcji : y = A, y = e~^,

{x² dla x < 3 2x + 1 dla x > 3

13. Zbadać ciągłość i narysuj wykresy funkcji :

(a) x sin J (b) sgnx.

14. Wykaż, że równanie x³ — 3x + 1 ma pierwiastek rzeczywisty. Znajdź jego wartość przybliżoną.

15. Wykaż, że jeśli ciągi (/_n) i (g_n) funkcji, /_n, ,g_n : X R, n € N, są jednostajnie zbieżne do funkcji / i g to

(A) ciąg (/_n + g_n) jest jednostajnie zbieżny do f + g

(B) ciąg (f_n — g_n) jest jednostajnie zbieżny do f — g

(C) ciąg max{f_n,g_n} jest jednostajnie zbieżny do max{f,g}

(D) ciąg min{f_n, g_n} jest jednostajnie zbieżny do min{f,g}, gdzie max{f,g}(x) = max{f(x),g(x)}.

16. Czy ciąg funkcyjny

(a) (₁+n_Xł )neN , dla x e R, (b) (sjx + n + 1 - \/x+ l)„_eN , dla x £ R+ .

(c) i" — x²ⁿ, 0 < x < 1 , (d) xⁿ — xⁿ⁺¹, 0 < x < 1 ,

(e) y/s* + &, x 6 R . (f)    < * < 1 ,

(g) ⁿ(\J^x + i)>^x e ^R

jest jednostajnie zbieżny ?

17. Oblicz odległość Czebyszewa funkcji f,g:X—>Y jeżeli X =< 0,1 >, Y = R, f(x) = e^x, g(x) = x.