Granica i ciaglosc fukcji strp 71

(zakładamy, że ułamek ten jest nieskracalny), to / (x) = -. Pokazać, że funkcja ta,

zwana funkcją Riemanna, jest ciągła w punktach wymiernych.	w punktach niewymiernych i nie
58. Udowodnić, że każde równanie stopnia n nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych, tzn. równanie postaci x" + aB_,x*^_, + ...+a1x + a0 =0, ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
59. Obliczyć następujące granice
” x‘-xy+f	^k)
^c) .J™o.o,i*T7’	d) lim («.y)-(0.0) (x^2+y^2)x^2y^2

60. Zbadać ciągłość następujących funkcji:

a) f(x,y) = <		dla	(x,y)*(0,0)
	l o	dla	(x,y) = (0,0),
b) f(x,y) = <		dla	(x,y)*(0,0)
	l 0 f x*—y*	dla	(x,y) = (0,0),
c) /(x,y) = <	[x^4+/	dla	(x,j»V(0,0)
	l o	dla	(x,y) = (0,0),
d) f(x,y)=<		dla	(x,y)*(0,0)
	l 0	dla	(x,y) = (0,0).

x²y²

61. Niech f(x,y) = ^2_y2+^_x__y^2    (x,)0 ^ (0,0). Pokazać, że granice

iterowane

(Jl™^)*    (J™ f(*» ■y)).

istnieją i są równe 0, ale nie istnieje granica lim f(x,y).

62. Wykazać, że istnieje granica

lim (-X + y) s>n ^- sin -,

<*.,>-<o.o)    x y

ale nic istnieją granice iterowane

lim^lim (x + y)sin^sinlim ^lim (x+y)sin^sin ^

63.    /badać ciągłość funkcji /: IR -* ft. określonej wzorem I /(x) «• [x] sin nx.

64.    Pokazać, że jeśli funkcje /,</:/-* IR są ciągłe (/ oznacza przedział), to ftinkcje

I    ę(x) = max {/(x),0(x)}, ^(x) = min \f(x),g(x)}

■ft są ciągłe na /.

65.    Niech /: / -* IR będzie ciągła, gdzie 1 jest przedziałem. Pokazać, że funkcja / : / -* IR, określona wzorem

Jut ciągła i rosnąca na /.

66.    i Idowodnić. że funkcja /: [a, + co) -* IR, która jest ciągła na [a, + oo) Rllt która nic jest ograniczona ani z góry ani z dołu na tym przedziale, przyjmuje ■Bidą wartość rzeczywistą nieskończenie wiele razy.

[    67. Niech I będzie przedziałem i niech /:/-»IR. Określmy funkcję

Bit , IR, przyjmując, że

M • #(/,E) = sup {\f(y)—f (x)|:x,ye/,|x—y| < e},

(Ha * > 0. Funkcję e -» w(x,e) będziemy nazywać modułem ciągłości funkcji /. B Pokazać, że / jest jednostajnie ciągła na I wtedy i tylko wtedy, gdy Hm tv(/,e) = 0.

6H. Wykazać, że jeśli funkcja /: IR -* IR jest jednostajnie ciągła na IR, to 1611110311 takie liczby a 0 oraz b ^ 0, że |/(x)| s? a|x|+fe, dla każdego xelR.

69.    Pokazać, że funkcja /: IR -» IR określona wzorem /(x) = x sin x, spełnia twierdzenia z zad. 68, ale nie jest jednostajnie ciągła na IR.

70.    Mówimy, że funkcja /:/ -* IR (/ jest przedziałem, a nawet dowolnym |ii>ilzbiorem zbioru IR) spełnia na I warunek Lipschitza ze stałą L > 0, jeżeli

I l/M—/OOI < L\x-y\

•Ilu x,yel.

Pokazać, że funkcja / spełniająca warunek Lipschitza na / jest jednostajnie ciągła na /.

71.    Załóżmy, że / :/-»IR jest taką funkcją, że istnieją stałe L > 0 oraz (0.1] takie, że

\fix)-/M*L\x-yr

ł) funkcji / mówimy wtedy, że spełnia warunek Hóldera (ze stałą L i z wykładnikiem «).

Pokazać, że każda funkcja spełniająca warunek Hóldcru jest jednostajnie