3754969708

Rozdział 2

Teoria powierzchni

2.1 Rozmaitości różniczkowe

Definicja 2.1.1 (mapa). Niech X będzie przestrzenią topologinczą. Mapą na X nazywamy dowolny homeomorfizm <fr_Q: U_a —* W_Q, gdzie U_a jest otwartym podzbiorem X, a W_a jest otwartym podzbiorem R".

Definicja 2.1.2 (atlas). Atlasem nazywamy zbiór map pewnej przestrzeni topologicznej X:

{t_a:U_a-,W_a}_a€I

taki, że U_Qe/ U_a = X.

Mówimy, że atlas jest gładki (klasy C^r) jeśli funkcje $3 o : <fr_a(U_a fi Vs) —* $p(U_a n Vp) są gładkie (klasy C ).

Definicja 2.1.3. Niech {U_a, 4>_Q}, {V^, 77^} będą atlasami odpowiednio na przestrzeni topologicznej na X i Y. Odwzorowanie f:X—*Y jest gładkie (klasy C^r) jeśli funkcje: ^0/0 $a¹|*_a(tf_an/-»(ifr)) są gładkie (klasy C^r).

Definicja 2.1.4 (atlasy równoważne). Dwa atlasy na przestrzeni topologicznej X: {$_Q}, {'1/_/?} są równoważne jeśli identyczność na X jest funkcją gładką.

Definicja 2.1.5 (rozmaitość). Gładką (klasy C^r) n-wymiarową rozmaitością nazywamy przestrzeń topologiczną z zadaną na niej klasą atlasów równoważnych. Klasy równoważności atlasów nazywamy strukturą różniczkową na rozmaitości X.

Uwaga 2.1.6. Z reguły rozmaitość definiuje się jako przestrzeń, która jest lokalnie homeomorficzna (lub dyfeomorficzna) z przestrzenią euklidesową. Ogólny sens wszystkich tych definicji jest taki sam i sprowadza się do tego, że w analizie rozmaitości możemy lokalnie patrzeć na nią jak na fragment „zwykłej” przestrzeni Rⁿ.

Przykład 2.1.7. Typowe rozmaitości, to: R". Sⁿ,M.Pⁿ, CPⁿ, Hⁿ, Dⁿ, torus.