8097134311

48

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

4 Kilka klas procesów

4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V, A, Aioc

Jak poprzednio niech (i?, J⁷, F,P) będzie zupełną bazą stochastyczną.

Definicja 4.1 Proces A o wartościach w [0, +oo] nazywamy rosnącym procesem jeśli dla u> E fź trajektorie    są niemalejące, cad oraz Aq — 0.

Dla rosnącego procesu A istnieje granica Aoo = lim^oo At i oczywiście nie musi ona być skończona.

Niech V⁺(FP) = V⁺ oznacza rodzinę rosnących, adaptowanych procesów A takich, że At < +oo dla t > 0 oraz V(FP) = V oznacza przestrzeń wszystkich procesów, które są różnicą dwóch elementów z V tzn. V = V⁺ — V⁺.

Lemat 4.2 Wszystkie procesy należące do klasy V⁺ i klasy V są opcjonalne

Dowód. Jeśli proces A £ V⁺ to trajektorie posiadają lewostronne granice. Zatem A jest cadlag i z założenia jest adaptowany, a więc jest opcjonalny. Stąd każdy element V jako różnica dwóch elementów procesów opcjonalnych jest opcjonalny.

□

Określimy teraz wahanie (wariację) procesu X.

Definicja 4.3 Niech t > 0 i niech <5f = {0 = to,t\,...,t_n — t}, gdzie ti-\ < ti dla i = 1,... ,n, n> 1 będzie podziałem odcinka [0,t]. Dla danego podziału 5t określmy

S_St(X) = j2 \x_tl-x_tij

i= 1

Wahaniem (wariacją) procesu na przedziale [0, t] nazywamy kres górny sum Sg_t (X) po wszystkich możliwych podziałach St przedziału [0, t] tj.

V_t(X)=8upS_5t(X).

s_t

Uwaga. Zauważmy, że gdy X jest cad lub cag to dla t > 0 mamy

i=i

Stąd, jeśli X jest adaptowany to V(X) też.

□

Gdy powyższy kres górny jest nieskończony dla pewnego t > 0 to mówimy, że proces X ma wahanie nieskończone. Proces X ma skończone wahanie jeśli Vt(X) jest skończone dla każdego t > 0. Bezpośrednio z definicji wahania otrzymujemy następujące własności procesów o skończonym wahaniu: