8097134322

49

Marek Beska, Całka Stochastyczna, wykład 4

(i)    Dla 0 <s<t mamy V_a(X) < V_t(X);

(ii)    Wahanie jest funkcją addytywną przedziału tzn. dla 0 < s < f mamy Vt(X) = F_S(X) + Vg(X) gdzie Vg(X) jest whaniem X na przedziale [s, t];

(iii)    Dla 0 < s < f zachodzi:

(4.1)    V_t(X)(u) - V_a(X)(u) > \X_t(u) - X»|;

(iv)    Kombinacja liniowa i iloczyn procesów o wahaniu skończonym jest procesem o wahaniu skończonym.

Lemat 4.4 Zachodzą następujące fakty:

(a)    Jeśli proces X ma skończone wahanie i jest cad to proces V(X) = {Vf(X)}t>o jest rosnący i cad;

(b)    Niech X będzie cad i niech Xo = 0 Wtedy X jest adaptowany o skończonym wahaniu wtedy i tylko wtedy, gdy X 6 V.

Dowód, (a) Monotoniczność wynika z własności (i) powyżej. Wykażemy, że Vt(X) jest cad. Ustalmy to > 0. Z własności (ii) powyżej wystarczy wykazać

(4.2)    lim V;‘(X)=0.

t->t+

Niech e > 0. Poniewż X jest cad, więc istnieje 5 > 0 takie, że dla u spełniającego warunek to < u < to + S mamy

\X_U — X_(o| < e/2.

Istnieje podział to <    < ... < t_n = t taki, że

<=1 ²

Niech to < s < min(to + S, t\). Wtedy

Vt₀(X) < \X_S - X_to| + \X_tl - X_s\ + ... + \X_tn - X_tn_₁1 + - < £ + Vg(X).

Skąd Vj*(X) < e. Zatem (4.2) zachodzi. Zauważmy, że mamy również odwrotną własność tzn. jeśli V{X) jest cad to X też, co wynika z (4.1).

Dla dowodu (b) załóżmy, że X (Xq = 0) jest adaptowany o skończonym wahaniu. Mamy

x = <KX)-t(x).