9414912652

97

© MIM UW, 2011/12

Potraktujmy teraz c jako funkcję, określoną na grupie GL(n, R) macierzy nieosobliwych n x n (każdy izomorfizm liniowy utożsamiamy z jego macierzą w standardowych bazach). Sprawdzimy, że c spełnia założenia Lematu 4.34, co pozwoli zakończyć cały dowód twierdzenia.

Jeśli $ = s ■ Id, to $([0, l]ⁿ) jest kostką o krawędzi |s|, a więc ma miarę |s|”. Zatem c(s • Id) = |s|ⁿ. Dla 4>i, $2 € GL(n, R) mamy z definicji c

/W[0, l]ⁿ) = c($i$₂); z drugiej strony, wobec definicji jią, jest

»₁*₁a«.i]’‘)^<=^1>A„(*₁(®2([o,ii»)))

^<4^⁹V(<i?2([o,in)

^<4=^0> c(ł₁)A„(*₂([0,1]”)) ^<4^¹⁾ c(*₁)c(4.₂).

Spełnione są więc oba założenia Lematu 4.34. Wnioskujemy zeń, że c(4>) = | det 4>|; wzory (4.19M4.20) implikują, że

A_n($(A)) = n^(A) = c($)A_n(A) = | det$| • A„(A).

Dowód Twierdzenia 4.35 jest zakończony. □

Uwaga 4.36.    1. W przestrzeni R³ istnieją wielościany, które mają równe objętości, ale

nie są równoważne przez podział skończony (tzn. jednego z nich nie można w żaden sposób podzielić na skończoną liczbę wielościennych klocków, z których dałoby się złożyć drugi wielościan).¹ Między innymi dlatego dowód równości A_n($(A)) = | det <I>|A_n(A) wymaga kilkakrotnego odwołania się do charakteryzacji miary Lebes-gue’a, podanej w Twierdzeniu 4.31.

2. Jak przekonamy się później, równość (4.18) jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o zamianie zmiennych w całce Lebesgue’a.

Twierdzenie 4.37. Załóżmy, że A C W¹ i B C R^m są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a. Wówczas zbiór Ax B jest mierzalny w sensie Lebesgue’a w Rⁿ x R^m i zachodzi równość

\_n+m{A x B) = \_n(A) ■ A_m(B).    (4.22)

Dowód. Będziemy postępować podobnie, jak w dowodzie Twierdzenia 4.31, stopniowo powiększając klasy zbiorów A, B, dla których zachodzi teza. Dowód nie jest trudny, jednak jego zapisanie wymaga pewnej pracy.

Krok 1. Jeśli A i B są przedziałami odpowiednio wR"i R^m, to ich iloczyn kartezjański jest przedziałem w R^n+m; mamy wtedy

A_n+m(A x B) = vol (A x B) = vol (A) • vol (B) = A_n(A) • A_m(B).

1

Na płaszczyźnie każde dwa wielokąty o równych polach są równoważne przez podział skończony. Pytanie, czy analogiczny fakt ma miejsce w R³, było w 1900 r. treścią trzeciego problemu Hilberta. W tym samym roku Max Dehn podał przykład dwóch ostrosłupów o równych objetościach, które nie są równoważne przez podział skończony. Zainteresowany Czytelnik może sięgnąć np. do rozdziału 7 książki M. Aignera i G.M. Zieglera Dowody z Księgi (wyd. PWN, Warszawa 2002).