9414912655

99

© MIM UW, 2011/12

z dowolności e > 0 wynika, że X_n+_m(A x B) — 0 = A_n(A) x \_n{B).

Krok 5. Załóżmy teraz, że A C Rⁿ i B C R^m są ograniczonymi zbiorami mierzalnymi. Znajdziemy zbiory Y cK"i Z C R^m takie, że

A_n(F) = A _m(Z) = 0,

AnY = BHZ = </},

zbiory Ga = A U Y oraz Bb = B U Z są typu Gs-

Wtedy

G_axG_b = AxBu(YxBuAxZuYxZ).

Z poprzedniego kroku dowodu wynika, że X_n+m(Y xBL)AxZl)Yx Z) =0. Zbiór Ga x Gb jest typu Gs w R^n+m ; dlatego zbiór A x B, który różni się odeń o zbiór miary zero, należy do JZ‘(R^n+m). Mamy też

X_n+m(A x B) = X_n{G_A x G_b) = X_n(G_A)X_m(G_B) = X_n(A)X_m(B).

Krok 6 (przypadek ogólny). Jeśli A i B są dowolnymi zbiorami mierzalnymi, to biorąc Aj — An B(0, j) w R" i Bj — BnB(0,j) w R^m, otrzymujemy na mocy Stwierdzenia 4.9 (ii)

A_n+m(A xB)= lim X_n+m(A_j x Bj) = lim X_n(Aj)X_m(Bj) = X_n(A)X_m(B).

3=oo    j=oo

Dowód całego Twierdzenia 4.37 jest zakończony. □

4.3 Funkcje mierzalne

Określimy teraz klasę funkcji, które można całkować względem danej miary. Niech X będzie dowolnym zbiorem, a & - ustalonym cr-ciałem podzbiorów X, wyposażonym w przeliczalnie addytywną miarę /i: & —* [0, +oo]. Trójkę (X, ^, n) nazywa się przestrzenią z miarą. Najważniejszym modelem takiej sytuacji będzie dla nas na razie X = Rⁿ, & —

=$f(Rⁿ), p — X_n. Będziemy rozpatrywać funkcje /: X —> R = R U {—oo, +oo}.

Definicja 4.38. Mówimy, że funkcja f: X -t R jest mierzalna (względem <r-ciała &) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby a e R zbiór

/^-1 ((o, +oo]) = {x e X : f(x) > a}

należy do

Jeśli X = Rⁿ, & — =Sf(Rⁿ), p = X_n, to mówimy o funkcjach mierzalnych w sensie Lebesgue’a.

Stwierdzenie 4.39. Niech f: X —> R. Następujące warunki są równoważne:

(i)    funkcja f jest mierzalna;

(ii) dla każdego a € Rzbiór {iel: f(x) < a} €

(iii) dla każdego a € R zbiór {a; € X: f(x) < a} €