274844706

20 3. Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody

Przykład 3.8 (Rozkład Cauchy’ego). Gęstość i dystrybuanta zmiennej X ~ Cauchy(0,1) są następujące:

^{f{x) =} ńTT^’ ^fW = 2 ⁺ i^arc,imW.

Można tę zmienną generować korzystając z wzoru:

X = tan(» (u- ^)) ,    !/~U(0,l).

3.3. Metoda eliminacji

To jest najważniejsza, najczęściej stosowana i najbardziej uniwersalna metoda. Zacznę od raczej oczywistego faktu, który jest w istocie probabilistycznym sformułowaniem definicji prawdopodobieństwa warunkowego.

Stwierdzenie 3.2. Przypuśćmy, że Z = Z\,... ,Z_n,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, o wartościach w przestrzeni Z. Niech C C Z będzie takim zbiorem, że P(Z G A) > 0. Niech

N — min{n : Z_n G C}.

Zmienne losowe N i Zn są niezależne, przy tym

P(Zn G B) = P(Z G B\Z G C) dla dowolnego B C Z, zaś

F(N = n) = pqⁿ~^l, (n = l,2,...), gdzie p = F(Z€C).

Dowód. Wystarczy zauważyć, że

F(X_n e B, N = n) = P(Zi ć C,..., Z_n—\ £C,Z_n(=CnB)

= P(Zi £ c) ■ ■ ■ P(z„_i £ c)P(z_n g c n B)

= qⁿ~^lF{Z eCr\B) = qⁿ~ⁱF(Z G B\Z G C)p.

□

W tym Stwierdzeniu Z może być dowolną przestrzenią mierzalną, zaś C i B - dowolnymi zbiorami mierzalnymi. Stwierdzenie mówi po prostu, że prawdopodobieństwo warunkowe odpowiada doświadczeniu losowemu powtarzanemu aż do momentu spełnienia warunku, przy czym rezultaty poprzednich doświadczeń się ignoruje (stąd nazwa: eliminacja).

3.3.1. Ogólny algorytm

Zakładamy, że umiemy generować zmienne losowe o gęstości g, a chcielibyśmy otrzymać zmienną o gęstości proporcjonalnej do funkcji /. Zakładamy, że 0 < / < g.

Listing.

repeat

Gen Y ~ g\

Gen U ~ U(0,1) f(Y)

X:=Y