274844701

16 3. Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody

Zajmiemy się teraz pytaniem, jak „wyprodukować” zmienne losowe o różnych rozkładach,

wykorzystując zmienne Ui,U2,____W tym podrozdziale pokażę kilka przykładów, a w następnym

przedstawię rzecz nieco bardziej systematycznie.

Przykład 3.2 (Rozkład Wykładniczy). To jest wyjątkowo łatwy do generowania rozkład -wystarczy taki algorytm:

Listing.

Gen U; X := -±lnU

Na wyjściu, X ~ Ex(A). Żeby się o tym przekonać, wystarczy obliczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej: P(X < x) = P(- j log U < z) = P(U > e~^Xx) - 1 - e^-Ax. Jest to najprostszy przykład ogólnej metody „odwracania dystrybuanty”, której poświęcę następny podrozdział.

Przykład 3.3 (Generacja rozkładu normalnego). Zmienna losowa

12

X = '£Ui-6

i= 1

ma w przybliżeniu standardowy rozkład normalny N(0,1). Wynika to z Centralnego Twiedzenia Granicznego (jeśli uznamy, że liczba 12 jest dostatecznie bliska oo; zauważmy, że EAT = 0 i VarX = 1). Oczywiście, w czasach szybkich komputerów ta przybliżona metoda zdecydowanie nie jest polecana. Jest natomiast pouczające zbadać (symulacyjnie!) jak dobre jest przybliżenie. Faktycznie bardzo trudno odróżnić próbkę X\,..., X_n wyprodukowaną przez powyższy algorytm od próbki pochodzącej dokładnie z rozkłdu N(0,1) (chyba, że n jest ogromne).

Przykład 3.4 (Algorytm Boxa-Mullera). Oto, dla porównania, bardziej współczesna - i całkiem dokładna metoda generowania zmiennych o rozkładzie normalnym.

Listing.

Gen £/i; 0 := 2nU_lt Gen u₂; R := \/-21n t/₂,

Gen X := J?cos0; Y := RsinO

Na wyjściu obie zmienne X i Y mają rozkład N(0,1) i w dodatku są niezależne. Uzasadnienie poprawności algorytmu Boxa-Miillera opiera się na dwu faktach: zmienna R² = X² + Y² ma rozkład x²(2) = Ex(l/2), zaś kąt 0 między osią i promieniem wodzącym punktu (X, Y) ma rozkład U(0,27t).

Ciekawe, że łatwiej jest generować zmienne losowe normalne „parami”.

Doświadczenie, polegające na wygenerowaniu zmiennych losowych X i Y powtórzyłem 10000 razy. Na Rysunku 3.1 widać 10000 wylosowanych w ten sam sposób i niezależnie punktów (X, Y), histogramy i gęstości brzegowe X i Y (każda ze współrzędnych ma rozkłd N(0,1)) oraz histogram i gęstość R² = X² + Y² ( rozkład wykładniczy Ex(l/2)).

Histogram jest „empirycznym” (może w obecnym kontekście należałoby powiedzieć „symulacyjnym”) odpowiednikiem gęstości: spośród wylosowanych wyników zliczane są punkty należące do poszczególnych przedziałów.