ALGEBRA WYKA
AD 16
Równania liniowe
Jacek Jędrzejewski
2008/2009
Spis treści
1 Warstwy, przestrzeń ilorazowa 2
2 Równania liniowe 4
3 Układy równań liniowych 6
1
1 Warstwy, przestrzeń ilorazowa
Jak zwykle, niech V będzie dowolną przestrzenią liniową nad ciałem K i W
jej dowolnÄ… podprzestrzeniÄ….
Definicja 1 Zbiór

x " V : (x = a + y) ,
"
y"W
gdzie a jest pewnym ustalonym wektorem z przestrzeni V , nazywamy war-
stwą przestrzeni V względem podprzestrzeni W wyznaczoną przez wektor a.
WarstwÄ™ tÄ™ oznaczamy symbolem a + W .
Inaczej warstwę tę można opisać jako zbiór
{a + y : y " W } .
Twierdzenie 2 Dwie warstwy są rozłączne lub są równe.
D o w ó d. Niech a + W i b + W będą dwiema warstwami przestrzeni V .
Jeśli a + W )" b + W = ", to dobrze.
Jeśli nie, to istnieje wektor u, należący do obu warstw. Wtedy istnieją
wektory ya i yb w podprzestrzeni W takie, że
u = a + ya i u = b + yb.
Zatem
a - b = yb - ya.
Wobec tego
a - b " W i b - a " W .
Jeśli v " a+W , to istnieje wektor y w podprzestrzeni W taki, że v = a+y.
Wtedy
v = a + y = b + (a - b) + y = b + (a - b + y),
2
a ponieważ a - b + y " W , więc
v " b + W .
UdowodniliÅ›my wiÄ™c zawieranie a + W ‚" b + W . Podobnie dowodzi siÄ™
zawierania przeciwnego. Tak więc
a + W = b + W .
Z dowodu powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek:
Wniosek 1 Dla każdych wektorów a i b z przestrzeni V i podprzestrzeni W
równość a + W = b + W jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy a - b " W .
Inaczej zapisujÄ…c mamy:
Wniosek 2 Dla każdych wektorów a i b z przestrzeni V i podprzestrzeni W
a + W = b + W Ð!Ò! a - b " W .
Własność 3 Dla każdych wektorów a, a , b i b z przestrzeni V i podprze-
strzeni W jeśli
a + W = a + W i b + W = b + W ,
to
(a + b) + W + (a + b ) + W .
D o w ó d. Ponieważ
(a + b) - (a + b ) = (a - a ) + (b - b ),
więc
(a + b) - (a + b ) " W ,
a stąd i powyższego wniosku wynika teza.
3
Definicja 4 Jeśli W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V , to
sumÄ… warstw a + W i b + W nazywamy warstwÄ™ (a + b) + W .
Z powyżej udowodnionej własności wynika, że tak określone działanie w
zbiorze warstw jest zależne jedynie od warstw, a nie od wektorów generują-
cych te warstwy. Oznacza to, że w zbiorze warstw względem podprzestrzeni
W określone jest działanie wewnętrzne. Działanie to oznaczamy tak, jak dzia-
Å‚anie w przestrzeni V , czyli symbolem +.
Podobnie dowodzimy własności:
Własność 5 Dla każdych wektorów a i b z przestrzeni V , liczby ą z ciała
K i podprzestrzeni W jeśli
a + W = a + W ,
to
(Ä…a) + W = (Ä…a ) + W ,
Powyższa własność pozwala zdefiniować iloczyn liczby przez warstwę w
sposób następujący:
Ä… · (a + W ) = (Ä…a) + W .
W taki sposób zdefiniowaliśmy jedno działanie wewnętrzne i jedno działa-
nie zewnętrzne w zbiorze warstw względem podprzestrzeni W . Zbiór warstw
przestrzeni V względem podprzestrzeni W oznaczamy symbolem V /W .
Można udowodnić, że zbiór V /W (warstw przestrzeni V względem pod-
przestrzeni W ) z dziaÅ‚aniami + i · tworzy przestrzeÅ„ liniowÄ… nad ciaÅ‚em K.
Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią ilorazową przestrzeni V przez pod-
przestrzeń W .
2 Równania liniowe
Zajmiemy się teraz ogólną teorią równań liniowych.
4
Definicja 6 Równaniem liniowym nazywamy równanie, mające postać
(1) A(x) = b,
gdzie A jest przekształceniem liniowym pewnej przestrzeni liniowej V w prze-
strzeń liniową W , b jest ustalonym wektorem z przestrzeni W , natomiast
x jest niewiadomą równania.
Rozwiązaniem równania (1) nazywamy wektor x0 z przestrzeni V , który
spełnia to równanie, tzn. spełniona jest równość
A(x0) = b.
Oczywiście równania takie mogą być:
sprzeczne, tzn. niemające żadnego rozwiązania;
oznaczone, tzn. majÄ…ce jedyne rozwiÄ…zanie
i
nieoznaczone, tzn. mające wiele rozwiązań.
Rzecz jasna, istnienie rozwiązania zależy od tego, czy wektor b należy
do obrazu przekształcenia liniowego. Nas będzie interesować przypadek, gdy
istnieją rozwiązania naszego równania, czyli gdy b należy do zbioru Im A.
Załóżmy, że x0 jest jakimś ustalonym rozwiązaniem równania (1). Z wła-
sności warstw wynika, że jeśli A(x0) = b, to
A-1(b) = x0 + Ker A.
Jeśli V jest przestrzenią skończenie wymiarową, to:
dim V = def (A) + rz (A).
Tak więc def (A) = dim V - rz (A). Otrzymaliśmy w ten sposób następujące
twierdzenie i wniosek:
Twierdzenie 7 Jeśli x0 jest pewnym (tzw. szczegółowym) rozwiązaniem rów-
nania liniowego
A(x) = b,
to zbiorem rozwiązań tego równania jest warstwa x0 + Ker A.
5
Wniosek 3 Jeśli x0 jest pewnym (tzw. szczegółowym) rozwiązaniem równa-
nia liniowego
A(x) = b,
to zbiorem rozwiązań tego równania jest warstwa x0 + W , gdzie W jest zbio-
rem rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego
A(x) = 0.
Ponadto, jeśli dim V = n i rz A = k, to W jest podprzestrzenią przestrzeni
V , majÄ…cÄ… wymiar n - k.
3 Układy równań liniowych
Wróćmy raz jeszcze do układów równań liniowych. Rozważmy w tym celu
układ równań liniowych, mających postać
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2,
(2)
ôÅ‚
ôÅ‚
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
gdzie aij " K i bi " K, gdy i " {1, 2, . . . , m} oraz j " {1, 2, . . . , n}.
Niech
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x1 b1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ . śł ïÅ‚ . śł
. .
x = ïÅ‚ śł i b = ïÅ‚ śł
. .
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
xn bm
oraz
îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 . . . a1n
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
a21 a22 . . . a2n śł
ïÅ‚ śł
A = ïÅ‚ śł .
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 . . . amn
6
Zauważamy, że układ równań (2) jest równoważny równaniu macierzowemu
"
A x = b.
Powyższe równanie macierzowe nazywamy macierzową postacią układu
równań liniowych (2).
Określmy teraz funkcję A, przekształcającą przestrzeń liniową Kn w prze-
strzeń liniową Km nad ciałem K w sposób następujący:
"
A(x) = A x.
A
atwo można sprawdzić, że funkcja ta jest homomorfizmem przestrzeni Kn
w przestrzeń Km, przy czym jego macierzą względem baz kanonicznych prze-
strzeni Kn i Km jest macierz A. Układ równań (2) jest więc równoważny
równaniu liniowemu (1). Tak więc zbiorem rozwiązań niesprzecznego ukła-
du równań liniowych (2) jest warstwą wyznaczoną przez jedno (szczególne)
rozwiązanie układu (2) i jądro przekształcenia A, czyli zbiór rozwiązań jed-
norodnego układu równań, odpowiadającego układowi (2). Zbiór ten jest
podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni Kn. Na mocy wniosku 3, jej wymiar jest
równy n - k, gdzie k = rz A. Jeśli ma ona wymiar dodatni, to istnieje ba-
za tej podprzestrzeni. BazÄ™ tej podprzestrzeni nazywamy fundamentalnym
układem rozwiązań jednorodnego układu stowarzyszonego z układem (2).
Z powyższych rozważań i twierdzenia Kroneckera Capellego otrzymujemy:
Twierdzenie 8 Jeśli k jest rzędem macierzy układu równań liniowych (2),
to układ ten jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy roz-
szerzonej tego układu jest równy k. Jeśli k < n, to każdy liniowo niezależny
układ (u1, . . . , un-k) rozwiązań układu jednorodnego, odpowiadającego ukła-
dowi (2) jest fundamentalnym układem rozwiązań.
Ponadto, każde rozwiązanie x układu (2) ma postać
(3) x = x0 + Å‚1·u1 + . . . + Å‚n-k·un-k,
gdzie x0 jest szczególnym rozwiązaniem układu (2), zaś ł1, . . . , łn-k są pew-
nymi elementami ciała K.
7
Co więcej, każdy wektor x, mający postać (3), gdzie ł1, . . . , łn-k są pew-
nymi elementami ciała K, jest rozwiązaniem układu równań liniowych (2).
Wektor x, mający postać (3), gdzie ł1, . . . , łn-k są parametrami przyjmu-
jącymi wartości w ciele K, nazywamy ogólnym rozwiązaniem układu (2).
Aby znalez
ć fundamentalny układ rozwiązań układu jednorodnego, odpo-
wiadającemu układowi (2), postępujemy najczęściej następująco:
1. Stosując metodę eliminacji Gaussa, otrzymujemy ogólne wzory na nie-
wiadome główne x1, . . ., xp (z dokładnością do kolejności niewiado-
mych):
xi = di,p+1xp+1 + . . . + di,nxn,
gdzie i " {1, . . . , p}, zaś p jest rzędem macierzy rozważanego układu
równań.
2. Wybieramy teraz n - p wektorów xj liniowo niezależnych, mających
postać
xj = (0, . . . , 0, xp+1, . . . , xn) .
3. Wtedy wektory xj, mające postać
xj = (x1, . . . , xp, xp+1, . . . , xn) ,
gdzie x1, . . . , xp, sÄ… dane wzorami z punktu (1), stanowiÄ… fundamental-
ny układ rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych.
Przytoczymy jeszcze warunki, określające, kiedy układ równań liniowych
jednorodnych ma rozwiÄ…zania niezerowe.
Twierdzenie 9 Jednorodny układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0,
(4)
ôÅ‚
ôÅ‚
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0,
8
ma niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej A
tego układu jest mniejszy niż n.
D o w ó d. Rozważany układ ma oczywiście rozwiązanie. Zbiór rozwiązań
tego układu jest pewną podprzestrzenią liniową W przestrzeni Kn. Układ (4)
ma rozwiÄ…zanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy dim W > 0. Z wniosku
3 wynika teraz, że układ (4) ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy,
gdy
0 < dim W = n - rz A,
czyli gdy rz A < n.
Ponieważ dla macierzy kwadratowej A stopnia n równość det A = 0 jest
równoważna nierówności rz A < n, więc z powyższego twierdzenia wynika
bezpośrednio następujący wniosek:
Wniosek 4 Jednorodny układ równań liniowych, w którym liczba równań
jest równa liczbie niewiadomych, ma niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wte-
dy, gdy wyznacznik macierzy głównej tego układu jest równy zeru.
9