5192604469

W sensie probabilistycznym, VaR jest po prostu kwantylem dystrybuanty strat. Jeśli porównamy definicję wartości zagrożonej 2.8 do definicji uogólnionej funkcji odwrotnej A.5 to zauważymy, że zachodzi równość dla zmiennej losowej L

VaR„(L) = *r(&),

gdzie F£~(a) oznacza uogólnioną funkcję odwrotną (Definicja A.5) dla dystrybuanty Fi zmiennej losowej strat L. Zauważmy, że VaR spełnia poniższe założenia dla koherentnych miar ryzyka.

Lemat 2.9 (Niezmienniczość VaR na translacje)

V_i6*,V,_eR VaR_a(L + Z) = VaR_Q(L) + l.    (2.6)

Lemat 2.10 (Dodatnia jednorodność VaR)

V_Łe*V_A> o VaR_Q(AL) = AVaR_Q(L).    (2.7)

Lemat 2.11 (Monotoniczność VaR)

Vr.₁,L₂gar U < L₂ =► VaR_Q(Li) < VaR_Q(L₂).    (2.8)

Pomimo tego, VaR nie jest jednak koherentną miarą ryzyka, ponieważ nie spełnia warunku subaddytywności, co zostanie ukazane w poniższym przykładzie.

Przykład 2.12 (Brak subaddytywności VaR)

Weźmy pod uwagę 100 akcji, których stopy zwrotu są niezależne. Strata przyjmuje następujące wartości: -5 z prawdopodobieństwem 0.98; 100 z prawdopodobieństwem 0.02. Porównamy teraz ryzyko dwóch portfeli mierzone wartością zagrożoną.

A.    100 akcji po jednej sztuce (różnych spółek);

B.    100 jednakowych akcji (jednej spółki).

Otrzymujemy funkcję straty określone w następujący sposób: Li — 1001* ^— 5(1 — Yi) — 105Y5 — 5, gdzie i oznacza i-tą akcję (i € {1,2,..., 100}), Yi jest zmienną binarną taką, że Yi = 0 ^ Li = —5, Y_i = l^L_l = 100. Obliczymy teraz VaR_Q przy a = 0.95 dla obu portfeli.

15