673060926

Rozdział 1

ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ

Algebra liniowa jest tą częścią matematyki wyższej, która znajduje zastosowanie w szacowaniu parametrów strukturalnych modeli eko-nometrycznych. Już samo zbieranie danych, na podstawie których szacowane są później parametry, odbywa się za pomocą macierzy. Kolejne przekształcenia, mnożenia czy odwracanie macierzy - to działania należące do algebry. Dlatego warunkiem poznania metod ekonometrycz-nych jest wcześniejsze poznanie, czy właściwie przypomnienie sobie zasad algebry. Do materiału ekonometrii objętego niniejszą książką wystarczają podstawy algebry. Zostały one przedstawione poniżej.

1.1. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)

Niepusty zbiór, którego elementami są wektory i na którym określone są dwa działania:

•    dodawanie - każdej parze wektorów jest przyporządkowany pewien wektor należący do tej przestrzeni zwany ich sumą,

•    mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą - każdej parze wektora, liczba przyporządkowany jest pewien wektor należący do tej przestrzeni, zwany iloczynem wektora i liczby nazywamy przestrzenią wektorową.

Równoważny z powyższym zapisem jest zapis mówiący, że przestrzenią wektorową n-wymiarową nazywamy n-wymiarową przestrzeń arytmetyczną, na której elementach zostały określone dwa działania: dodawanie i mnożenie przez liczbę rzeczywistą. Elementy n-wymiarowej przestrzeni arytmetycznej, na których zostało określone dodawanie i mnożenie przez liczbę rzeczywistą, nazywamy wektorami'.

Wektory będziemy oznaczać małymi literami półgrubymi w odróżnieniu od liczb, zwanych skalarami. Elementami wektora są liczby, dla-

¹ Wektory będziemy oznaczać małymi literami alfabetu łacińskiego, pisane tłustym (pogrubionym) drukiem a. b. Wektor, dopóki nie będzie na nim wykonana operacja transpozycji, będzie uważany za wektor kolumnowy.

11