984501237

14

I. STRUKTURY LICZBOWE

która po przekształceniu ma postać

Rozumując jak poprzednio dochodzimy do wniosku, że także b jest liczbą parzystą, co jednak przeczy nieskracalności ułamka f.

Tak więc, aby zmierzyć długość przekątnej kwadratu o boku 1 musimy zgodzić się na istnienie liczby \J2, która nie jest wymierna. Fakt ten był już prawdopodobnie znany filozofom z kręgu Pitagorasa, a jest także wspomniany w dziele Euklidesa Elementy.

Niewymierność innej ważnej liczby ma także starożytny rodowód: od bardzo dawna było wiadomo, że stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy jest stały niezależnie od wielkości koła. Stosunek ten oznaczamy obecnie symbolem 7r. Od najdawniejszych czasów próbowano ustalić jego dokładną wielkość. Tak więc Archimedes uważał, że wynosi on y, Ptolemeusz przyjmował n równe 3 4- ^ + g|^, a matematyk hinduski Bhaskara w XII wieku ustalił wielkość 7r na Dopiero matematyk holenderski Ludolph van Coolen w roku 1610 wyznaczył przybliżoną wartość n z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Stąd też liczba 7r nazywana jest także ludolfiną.

Nie wchodząc głębiej w naturę liczb rzeczywistych przyjmijmy jedynie, że zbiór M wszystkich liczb rzeczywistych spełnia następujący aksjomat:

(Aksjomat Dedekinda). Jeśli M = A U B i zbiory A i B nie są puste oraz dla dowolnego a G A i dowolnego b E B zachodzi nierówność

a < b,

to wśród liczb należących do zbioru A jest liczba największa albo wśród liczb należących do zbioru B jest liczba najmniejsza.

Dzięki temu postulatowi dla każdego zbioru ograniczonego złożonego z liczb rzeczywistych możemy określić jego kres górny (= supremum) oraz kres dolny (= infimum).

Definicja 3.1. Mówimy, że zbiór ACM jest ograniczony z góry, gdy istnieje taka liczba a G M, że nierówność zachodzi dla każdego a; € A. Podobnie mówimy, że zbiór A jest ograniczony z dołu, gdy istnieje taka liczba 0 G M, że nierówność zachodzi dla każdego x G A. Liczby a i 0 nazywamy, odpowiednio ograniczeniem górnym i ograniczeniem dolnym zbioru A.

Nie każdy zbiór liczb jest ograniczony, np. okazuje się, że zbiór

nie jest ograniczony z góry ale jest ograniczony z dołu. Natomiast zbiór {a S Q: o² < 2}