Kurt Gödel

Udowodnione w 1931 roku twierdzenie o niezupełności, które mówi, że w każdym systemie aksjomatycznym występują twierdzenia, które są prawdziwe, ale których nie można udowodnić. (Przykład: system aksjomatów arytmetyki stworzony przez włoskiego matematyka Peano).

Do owej pory sądzono, że matematyka jest nauką zupełną. Dowód Gödla dał odpowiedź.
Konkluzją jest też, że nie da się tak zaprogramować komputera, by rozwiązał on wszystkie problemy matematyczne.

 

Wprowadzenie - o co chodzi

Sprawa zachacza o możliwość powstania języka idealnego - gdyby był on możliwy, to można by napakować komputer aksjomatami, puścić go w ruch i czekać spokojnie na to aż wyprowadzi wszystkie twierdzenia prawdziwe. Na konferencji w 1931 roku Gödel udowodnił, że istnieje więcej twierdzeń, niż da się wyprowadzić z aksjomatów - czyli że zdań prawdziwych jest więcej niż dowodliwych. Pośrednio wynika z tego, że matematyka może zawierać zdania sprzeczne - nie ma dowodu na niesprzeczność matematyki. Jeszcze innmi słowy, metoda dedukcyjna jest niewyczerpująca (jest zawodna).

Jeszcze inaczej, jak to zgrabnie pan Stanisław Lem ujął, "są wyspy na oceanie matematyki, do których nie sposób dotrzeć za pomocą małych kroczków metody dedukcyjnej".

 

Droga dojścia

Założenia: Wszystkie liczby jakie istnieją, są zapisem jakiegoś twierdzenia matematycznego. Większość symbolizuje zdania bezsensowne, czasem jednak sensowne, a jeszcze rzadziej symbolizują zdania, które wynikają z innych.

Wszystkie twierdzenia sa już zapisane w tym sensie, że istnieją liczby

Przyjmijmy następującą symbolikę

~

1

v

2

3

4

=

5

0

6

s

7

(

8

)

9

.

10

x

11

y

13

z

17

p

11^2

q

13^2

r

17^2

P

11^3

Q

13^3

R

17^3

 

 

 

Twierdzenie Göedla:

Russell myślał, że logika to konstruowanie. Gödel mówi, że twierdzenia trzeba odszyfrować, a nie konstruować. Wszystkie twierdzenia już są zapisane w tym sensie, że istnieją liczby.

Predykaty:
Dem(x,y)	- x jest dowodem y-ka
Sub (x,y,z)	- w formule x na miejsce y podstawiamy z
n	- liczba Goedlowska formuły Dem (x,y)

(x) ~Dem(x,sub(y,13,y)) - to twierdzenie ma przypisaną liczbę n

 

(G) (x) ~Dem(x,sub(n,13,n))

czyli: Dla wszystkich zdań w systemie dedukcyjnym nie jest prawdą, że istnieje dowód twierdzenia, jeśli pod n podstawi się formułę.

Do Dem(x,y) pod y podstawiamy to samo: i otrzymujemy:

Dem(x,sub(n,13,n)) pod y = sub(n,13,n)

Przy czym:

w formule Dem (x,y) y mówi o całej formule

a w Dem(x,(Dem(x,y)) - nie wiemy czego symbolem jest y

 

Możemy nie znać treści formuły, a jedynie sprawdzić relacje arytmetyczne między formułami.

Wnioski: czyli na pohybel Russellowi i innym struchlałym ze strachu miłośnikom metody dedukcyjnej, istneiją zdania, które są prawdziwe, a jednocześnie takie, których udowodnić się nie da. Formuła powyższa jest niewyprowadzalna a jednocześnie wyrażalna arytmetyczne. Po prostu po arytmetyzacji matematyki okazuje się, że sa formuły niedowodliwe środkami systemu.

 

 

Biografia w skrócie:

Kurt Gödel (1906-1978). Urodził się w 1906 roku w Brnie. W roku 1923 wstąpił na uniwersytet w Wiedniu. Tam zainteresował się logiką matematyczną. W roku 1929 ukończył pracę doktorską.
Po dojściu Hitlera do władzy Gödla wyemigrował do USA. Tam mieszkał i pracował aż do śmierci w roku 1978. Umarł z niedożywienia - nie przyjmował pokarmów, gdyż uważał, że ktoś chce go otruć.

 

2

---