Nr ćwicz. 120 |
Data:
21.01.98 |
|
Wydział Elektryczny |
Semestr: I |
Grupa: T4
|
|
Przygotowanie: |
Wykonanie: |
Ocena ostat.: |
Temat: Badanie rezonansu mechanicznego
Wstęp teoretyczny:
Rodzaj ruchu, jaki wykonuje ciało, jest określony przez własności siły na nie działającej. Ruch nazywamy harmonicznym, jeżeli siła działająca na ciało jest skierowana do jednego punktu, będącego położeniem równowagi i jej wartość jest proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi
(1)
gdzie x0 jest położeniem równowagi, k - stałą sprężystości.
Układ fizyczny posiadający powyższe własności nazywamy oscylatorem harmonicznym. Przykładami oscylatorów harmonicznych są: sprężyna z zamocowaną na końcu masą, wahadło matematyczne i fizyczne (w zakresie niewielkich wychyleń), atomy i jony drgające wokół położeń równowagi w węzłach sieci krystalicznej.
Jeżeli w równaniu (1) przyjmiemy x0 = 0 oraz wyrazimy siłę przez masę i przyspieszenie, otrzymamy równanie:
(2)
które po podzieleniu przez masę i wprowadzeniu oznaczenia k/m = przechodzi w postać:
(3)
która jest najczęściej spotykaną formą ogólnego równania różniczkowego ruchu harmonicznego.
Rozwiązaniem równania różniczkowego (3) jest funkcja:
(4)
gdzie A jest amplitudą, a - częstością kołowa. Wyrażenie jest fazą ruchu, a - fazą początkową zależną od stanu ruchu w chwili t = 0. Jeżeli w chwili początkowej ciało jest maksymalnie wychylone, to , jeżeli x = 0 i t = 0 , to , jeżeli dla t = 0 x = 1/2 A to .
Wielkość występująca w równaniach (3) i (4) jest wychyleniem w znaczeniu ogólnym - może to być odległość liniowa od położenia równowagi, może to być kąt wychylenia , a także może to być wielkość niemechaniczna, np. natężenie prądu lub ładunek elektryczny na okładce kondensatora w obwodzie LC.
Ruch harmoniczny opisany powyżej nosi nazwę ruchu harmonicznego prostego dla odróżnienia od innych przypadków, kiedy oprócz siły -kx działają jeszcze inne siły.
Równanie ruchu harmonicznego tłumionego ma postać:
(5)
- jest to siła tłumiąca, której wartość jest proporcjonalna do prędkości.
Współczynnik tłumienia można wyznaczyć z pomiaru amplitud dwóch drgań różniących się w czasie o N okresów. Amplitudy wynoszą odpowiednio oraz a współczynnik tłumienia:
(6)
Wprowadzając pojęcie czasu relaksacji za pomocą którego możemy wyrazić amplitudę jako:
Współczynnik dobroci zależy od częstości drgań swobodnych układu i od czasu relaksacji:
lub (7)
Siła wymuszająca wykonuje pracę, której część jest przekazywana oscylatorowi powodując przyrost jego energii, a więc również amplitudy. Wartość amplitudy ustala się, gdy prędkość strat energii zrówna się z mocą przekazywaną oscylatorowi przez siłę wymuszającą. Moc absorbowana jest największa w rezonansie i spada do połowy wartości maksymalnej, gdy częstość spada lub wzrasta względem częstości rezonansowej o wartość tzn. . Całkowita szerokość rezonansu wynosi: lub .
Korzystając z dwóch powyższych równań oraz z równania (7) można wyrazić dobroć oscylatora za pomocą szerokości rezonansu:
(8)
Tabela pomiarowa:
Lp. |
T [s] |
[rad/s] |
Amplituda
|
U [V] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|