1 pomiar strumienia objętości

-przepływomierz pływakowy (rotometr) przepływ płynu odbywa się ku górze. Pomiar strumienia objętości rotometru sprowadza się do określenia położenia pływaka w kanale.

V_z=√[(2Δp)/ρ] - z równ. Bernoulliego

Δp - różnica ciśnień dla dolnej i górnej powierzchni pływaka.

ΔpF + Vρy = Vyp - w stanie ustalonym

0 = V_z - F₀

V - objętość pływaka

ρ - gęstość płynu

F - pole pow. pływaka

F₀ - swobodny przekrój szczeliny między pływakiem a ścianką kanału

, gdy ρ=const Q=(π/4)_*(D²-d²).

-przepływ krzywakowy

pomiar strumienia objętości za pomocą tego przyrządu polega na pomiarze różnicy ciśnień między strumieniami płynu opływowego. Wypukłą i wklęsłą stronę zakrywa przewód. Przy przepływie płynu przez zakrzywiony przewód na skutek działania siły dośrodkowej następuje wzrost ciśnienia w kierunku odśrodkowym. Różnica ciśnień po stronie wklęsłej i wypukłej krzywaka jest większa, im większy jest strumień m objętości przepływu krzywaka, jakościowo zbliżony jest do ruchu płynu idealnego, w którym moment prędkości M jest stały dla wszystkich elementów.

R - promień krzywizny linii środkowej.

r₁=R-a r₂=R+a {promienie zewnętrzne i wewnętrzne krzywaka}

p₂ - p₁=[(V₁²-V₂²)/2]_*ρ V₁=μ/r₁ ; V₂=μ/r₂

-przepływomierz końcowy (gazometr)

W obudowie przepływomierza znajdują się dwa ruchome przewody z części komory zaworowej na stałą przegrodę dzielące przewód na dwie identyczne części. Przy otwartych zaworach wlotowych i zamkniętych wylotowych następuje napełnienie komór powietrzem. Wielkością pomiarową gazomierza jest wielkość skokowa komór.

2 płyty nieprzesuwne - wzór Naviera - Stokesa

3 równanie ciągłości - ruch nieustalony płynu ściśliwego

Przy przepływie przestrzennym, gdzie wyznaczamy składowe prędkości V_x,V_y,V_z ciśnienie p i ρ jako funkcję współrzędnych x, y, z równania ciągłości wyprowadza się z równania masy płynu, która wypływa z elementarnego sześcianu o krawędziach dx, dy, dz .

☺-

Nieustawny przepływ płynu ściśliwego gdzie gęstość ρ(x, y, z, t)=0. W czasie dt w kierunku osi x wpływa do elementu przez lewą ścianę o powierzchni dydz masa płynu ρV_xdzdydt. Przez przeciwległą ściankę w tym samym czasie wypływa masa płynu.

przyrost masy w czasie dt w kierunku osi x

Analogicznie przyrost masy przy przepływie w kierunku y i z wynoszą:

Suma przyrostów mas w elemencie płynu w kierunku wszystkich osi:

Równocześnie jednak mamy gęstość ρ która w czasie t wynosiła ρ(x,y,z,t), więc w czasie t+dt gęstość ρ(x,y,z,t+dt)=ρ+(لρ/لt)_*dt

W czasie dt masa płynu wewnątrz elementu zmieni się od wartości ρ(dxdydz) do [ρ(لρ/لt)_*dt]dxdydz. Stąd przyrost masy -ρdxdydz+[ρ+(لρ/لt)_*dt]dxdydz = (لρ/لt)dxdydzdt. Porównując przyrosty otrzymujemy:

{różnicowe równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.

lub :

Podstawiając do równania ciągłości :

→ równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.

4. Dysza zwężka Venturiego

Dysza Venturiego jest to dysza z długim dyfuzorem, czyli takim, gdzie większa średnica dyfuzora równa jest średnicy przewodu a otwory impulsowe znajdują się po stronie dopływu w obudowie dyszy a po stronie odpływu w cylindrycznym przewężeniu.

Jeżeli zastosujemy zwężkę w rurociągu to spowoduje ona zmniejszenie przekroju poprzecznego a co za tym idzie wzrost średniej prędkości przepływu i energii kinetycznej oraz spadek ciśnienia statycznego. Jeżeli płyn ma gęstość stałą i porusza się w kierunku poziomym rurociągu to równanie Bernoulliego będzie miało postać :

V₁²/2 + p₁/ρ = V₂²/2 + p₂/ρ

Stopień rozwarcia modułu zwężki „m”=(d/Δ)² a stopień przewężenia strumienia m=(d/Δ)². Z równania ciągłości wynika V₁=V₂=F₂/F₁ → V₂=μm.

Prędkość przepływu płynu idealnego wynosi :

W przepływie rzeczywistym ρ<<1

Strumień objętości wynosi :

Gdzie :

α - liczba przepływu zwężki, f - pole powierzchni przekroju zwężki.

5 prawo Darcy'ego

Prawo Darcy'ego łączy w liniową zależność wydatek strumienia filtracyjnego Q z powierzchnią jego przekroju poprzecznego F i spadkiem hydraulicznym J.

Q = k_f*F_*J , gdzie k_f - wsp. filtracji , l - długość drogi przepływu.

∆=∆h/l (∆h=∆p/γ)

Ponieważ V_f (prędkość filtracji) = Q/F, otrzymujemy V_f = k_f*J

Dla małych prędkości przepływ ma charakter laminarny i podlega liniowemu prawu Darcy'ego. Gdy prędkość wzrasta, siły pulsacji powodują zmianę ruchu cząsteczek. Chaotyczny wsp. filtracji k_f nie zależy jedynie od własności skały porowatej, ale również od własności płynu takich jak lepkość oraz ciężar właściwy. Można to opisać tak :

K_f = k/μ = -k_f/υ , gdzie:

k - współ. przepuszczalności

υ - kinetyczny współ. lepkości

μ - dynamiczny współ. lepkości

Podstawiając powyższą zależność do wzoru Darcy'ego mamy :

przy małych długościach rdzenia p_śr = (p₁-p₂)/2 ,

gdzie p₁ i p₂ to ciśnienie gazu na wlocie i wylocie
.

Przy zał., że proces wznoszenia się gazu w rdzeniu jest izotermiczny.

Q₀ - wydatek gazu w warunkach atmosferycznych jest izotermiczny

p₀ - ciśnienie barometryczne

czyli współ. przepuszczalności ma postać:

6 płyty ruchome

v=c≠e
ruch ustalony

x - składowa pozioma jedn. sił masowych

y = -y - składowa pionowa sił masowych

z założenia ruchu

Całkujemy wobec tego μ/ρ≠0 oraz
dla y=0→V_x=0 ; y=h→V_x=V_B

p=xy+c dla y=h

p₀=-υh+c → c=p₀+υh, ostatecznie : p=υ(h-y+p₀) dla y=0 ; p_B=υh+p₀

7 wyprowadzić układ ciśnienia wzdłuż długiego rurociągu

Równanie ruchu płynu lepkiego:

gdzie υ=μ/ρ - liniowy współczynnik lepkości

Rozwiązania te są rozwiązaniami ruchu płynów lepkich i ściśliwych przy założeniu, że μ=const. Dla płynu nieściśliwego

Równanie ruchu płynu nieściśliwego i lepkiego można przedstawić w jednej postaci po rozwiązaniu wyrażenia na przyśpieszenie całkowite.

8 równanie Eulera dla płynu nieściśliwego

ρ=const - płyn nieściśliwy

z równania statyki otrzymujemy

siły działające na osi x=y=0 z=-y

p(V)=V_k+p₀

Jest to równanie na ciśnienie w stanie statycznym dla cieczy ρ=const (nieściśliwej)

9 równanie ruchu płynu lepkiego

W przepływie laminarnym w którym wektor prędkości elementu płynu są względem siebie równoległe, zgodnie z hipotezą Newtona, dynamiczny współczynnik lepkości μ jest równy:

μ=σ/(∂v/∂u) σ-naprężenie sztywne, v-prędkość przepływu

∂v/∂u - składowa gradientu prędkości w kierunkach prostopadłych do V

Kinetyczny współczynnik lepkości jest równy ilorazowi dynamicznego wsp. lepkości płynu μ i jego gęstości ρ υ=μ/ρ.

Do pomiaru lepkości służą wiskozymetry, lepkościomierze wykorzystujące różnice zjawiska fizycznego o przebiegu zbliżonym do zjawiska lepkości. Są to lepkościomierze kapilarne, rotacyjne, ultradźwiękowe.

Lepkościomierz Eulera - pomiar lepkości oparty jest na prawie Hagena. Zgodnie z tym prawem strumień objętości cieczy w przepływie laminarnym przez kapilarę jest równy.

∆p - różnica ciśnień między końcami kapilary

l, d - długość i średnica kapiary

μ - dynamiczny współczynnik lepkości cieczy

Lepkościomierz Höplera - pomiar oparty na prawie Stokena. Kula a gęstości ρ_k opada z prędkością v w cieczy o ρ_c wypełniającej cylinder lepkościomierza poddana jest oddziaływaniu sił:

- ciężkości G=(π/6)d³y ρ_k

- wyporu W=(π/6)d³y ρ_c

- oporu ośrodka

Współczynnik lepkości względnej ε = T/(kγ) ; T-czas wypływu, γ-stała wypływu

Gdy wypadowa tych sił jest równa zero, kulka upada ze stałą prędkością v=const.

Dla G=W+P wynosi

Dla Re < Q₂ siła wyporu wynosi W=P - 3πμvd

Dla ruchu laminarnego Cx=24/Re Re=(V₀dρ_c)/μ

Dla zmniejszenia błędu systematycznego wykorzystuje się zależność μ=(ρ_k-ρ_c)k_HT

T - czas opadania kuli ; k_H - stała przyrządu

10 Równanie Eulera dla płynu rzeczywistego

Występują siły:

-grawitacyjna

-wymuszająca ruch

-tarcie ρ=τ dv

równanie przepływu jedn. płynu rzeczywistego, gdy

dla potencjalnego gazociągu, który nie powoduje zmian prędkości :

dla płynu idealnego F_τ=0

gdy dv/dt=0 (v grad) v=σ - (1/ρ)grad p

v=const to σ - (1/ρ)grad p =0

v=0 to σ - (1/ρ)grad p =0

11 Bezwymiarowy współczynnik strat λ

Korzystając z prawa Hagena-Poiseuille

Q=πΔpR⁴/(8μl)

Q=v_śr*F v_śr=Q/F F=π* R²

Porównując ten wzór ze wzorem na straty Darcy'ego

12 Całka Eulera dla płynu

Z równania statyki otrzymujemy

=
=
=0

0=
0=
0=

Działające sily wzdłuż osi x=y=0 z= - g

0= - g

=g /*

Dp= -
gdz

Z równania Clapyrona

dp= - v dz = -

ln p = -
założenia p =
z =

ln p = -

c=ln

ln pn= -
+

ln po =

13. Całka i równane Eulera dla cieczy.

14. Cisnieniomierze (sonda Prandta)

Ciśnieniomierz tego typu pozwala na pomiar roznicy cisnienia całkowitego i statycznego. Różnica ta jest cisnieniem dynamicznym.

Manometr naczyniowy z rurka pochyła służy do pomiaru małych wartości roznic cisnienia stosuje się miedzy innymi mikromanometry cieczowe z rurka pochyla, protekcyjne , mikrometr Betza

Na podstawie wychylenia cieczy manometrycznej l i kata pochylenia rurki alfa można określić miarowo przez manometr roznicy cisnien

Różnica ciśnień:
sin
)=
ln g

Manometr z U-rurka

Manometr Aslavia słuzy do pomiaru pod i nadcisnien w zakresie do 2006 Re

15 Czas wypływu

v(z) =

dv = F₀
dt

dv = F(z)dz

- F(z)dz = μ₀F₀
dt

- F(z)dz = μF₀
dt

dt=-

Prawo Pascala.

Jeżeli dv/dt=0 to Fx=1/ro*dp/dx; Fy=1/ro*dp/dy; Fz=1/ro*dp/dz

Fxdx+Fydy+Fzdz= 1/ro*(dp/dx*dx+dp/dy*dy+dp/dz*dz)

Fxdx+Fydy+Fzdz=1/ro*dp

Prawa strona równania to pochodna zupełna i aby był warunek równania spełniony musi i lewa strona być pochodna zupełną.

wektorF=grad mi gdzie mi to potencjał wektora F(potencjał jednostkowy sil masowych)

Fx=dmi/dx; Fy=dmi/dy; Fz=dmi/dz.

Warunki równania płynu doskonałego dmi=1/ro*dp, ro=const.

Mi=1/ro*p+cosalfa

Zapis wektorowy radmi=1/ro gadp

Jeżeli F=0 grad mi=0 to 1/rogradp=0 - Prawo Pascala.16 Gęstość

Gęstość jest wielkością fizyczną charakteryzującą wszystkie zależne od masy i objętości. Gęstość średnia to stosunek masy i objętości: ρ_śr=m/V

Gęstość w punkcie: ρ=dm/dv= lim Δm/ΔV

^ΔV→Ve

Pomiar gęstości wilgotnego powietrza:

Powietrze zawiera w swym składzie parę wodną. Ilość pary wodnej i jej sprężystośc zależy tylko od jej temperatury. Wilgotnością bezwzględną nazywa się ilośc pary wodnej w jednostkach masy zawartej w jednostce powietrza [kg/m³]

Parametry mieszaniny spełniają zatem równanie Clapeyrona p/ρ =RT gdzie:

p-ciśnienie wilgotnego powietrza

p_s-ciśnienie suchego powietrza

oraz prawo Daltona b=e_Ps+e_Pw gdzie e_Pw-ciśnienie pary wodnej w powietrzu wilgotnym

p_s-ciśnienie suchego powietrza

Gęstość powietrza wilgotnego zależy od temperatury, ciśnienia, wilgotnośći, która wyrażona jest przez sprężystość pary wodnej. Gęstość cieczy - pomiar polega na wyrażeniu masy i objętości cieczy znajdującej się w piktometrze. Pomiar masy wyznacza się na wadze analitycznej, objętość wyznacza się pośrednio poprzez ważenie wody analitycznej o znanej gęstości

V₀-objętość cieczy w pikometrze
-gęstość badanej cieczy

Gęstość materiału ziarnistego wyznacza się przy pomocy pikometru. Należy zważyć dwukrotnie pikometr z próbką ciała rozdrobnionego oraz pikometr z tą samą próbką ciała dopełnionego cieczą o znacznej gęstości

m_s=m₀+m_p-V₀*ρ

m_w=m₀+m_p-(V₀- V_p) ρ_w - V_0*ρ

ρ-gęstość; V₀- objętość cieczy w pikometrze; m₀,m_p-masypikometru pustego, ciała rozdrobnionego; ρ_wgęstość rozdrobnionych ziaren

V_p- objętość rozdrobnionych ziaren

- gęstość materiału z którego zbudowane są ziarna ciała rozdrobnionego

17 Kryza zwężka

Celem jest wyznaczenie zależności liczy przepływu od liczy Reynoldsa (Re) dla zwęzki. Wykres α= α(Re) umożliwia wyznaczenie strumienia objętości pynu na podstawie pomiaru różnicy ciśnień na kryzie lub dyszy. Zwężka zabudowana w rurociągu powoduje zmniejszenie przekroju poprzecznego a tym samym wzrost średniej prędkości przepływu i energii kinetycznej oraz spadek ciśnienia.

- równanie Bernoulliego
= const

- moduł zwężki

- stopień przewężenia strumienia

- płyn idealny

18 Magistrala dla cieczy

Założenia:

19 Paradoks de'Alamberta

Przy ruchu ciała w płynie doskonały nie powstają żadne siły reakcji. W płynach rzeczywistych występują składowa reakcji p_x││v a w przypadku ciała niesymetrycznego występują obie składowe

p_x││v p_{y ┴} v

p_y-siła nośna

v_y=2v_osinφ

z równania Bernouliego

/ρ

20 Porównanie przepływu gazu przez ośrodki porowate.

Prędkość filtracji zgodnie z prawem Darcy (przy przepływie laminarnym) jest proporcjonalna do gradientu ciśnienia
.

k- współczynnik charakteryzujący przepuszczalność ośrodka porowatego, zależy od materiału i płynu.

µ- dynamiczny współczynnik lepkości gazu.

Podczas badania współczynnika filtracji cylindrycznej próbki mnożne różnice ciśnienia na zewnątrz i wewnątrz odcinka przewodu porowatego o długości l. Jedna część rury jest zamknięta a do drugiej jest podłączony wentylator. Na skutek podciśnienia następuje filtracja powietrza przez rurkę porowatą. Bezwzględna prędkość filtracji jest więc równa V=k/mi*dp/dt.

Strumień objętości powietrza przepływającego przez powierzchnię zewnętrzną rurki o polu jest równy:
gdzie
- wektor prędkości, n - wersom normalny.

Q= k/mi*dp/dv*2pi*l*r.

W celu wyznaczenia p=(p(r)) należy rozwiązać otrzymane równanie różniczkowe gdy Q=const.

dv/dr= 2pi*l*k/mi*Q*dp

lnr= 2pi*l*k/(mi*Q)*p+c

Równanie musi być spełnione dla wszystkich punktów cylindra porowatego w szczególności gdy leżące na powierzchni r=r_z

lnr_z=(2pi*l*k/mi*Q)*b+c gdzie b-ciśnienie barometryczne.

Funkcja p(r)ma postać p(r)=b-(mi*Q/2pi*l*k)*ln(r_z/r).

Wewnątrz rurki (r=r_w) a cieśninie wynosi p_w. p(r_w)=b-(mi*Q/2pi*l*k)*ln(r_z/r)= p_w

21 Równanie równowagi płynu

Równanie równowagi uwzględnia równowagę sił masowych i sił powierzchniowych. A więc

F_M -siły masowe; np- siły powierzchniowe

Przekształcamy całkę powierzchniową na objętościową korzystając z twierdzenia GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO:

Ze względu na dowolność obszaru całkowania V można zapisać:

Jest to równanie równowagi płynu w formie różniczkowej. A w układzie współrzędnych kartezjańskich ma ono postać.

x,y,z - to składowe siły masowej F_M w kierunkach osi x,y,z
Równanie równowagi wyprowadzone z różniczkowego sześcianu dxdydz. Rozpatrzona zostanie równowaga w kierunku osi x, gdzie siła powierzchniowa będąca iloczynem ciśnienia i powierzchni na odcinku dx rośnie o wielkość pdzdy do
dV=dxdydz

Element płynu dV =dxdydz jest w równowadze jeżeli rzuty sił na osi x są równe 0

Korzystając z faktu że
dodając stronami trzy składowe można naoisać

PRAWO PASCALA

Gdy na płyn nie działają siły masowe lub gdy są one zaniedbywanie małe w stosunku do sił powierzchniowych można zapisać warunek F_M=0 ; a więc i składowe X=Y=Z=0 ZATEM z równania EULERA w postaci różniczkowej wynika że grad p = 0 czyli dp = 0 a więc p=const jest to matematyczny zapis prawa PASCALA, mówiący że ciśnienie jest stałe w całej objętości

22 Prędkość przepływu termoanometru

Prędkość przepływu określa się za pomocą termoanometru. Poszczególne punkty pomiarowe wybiera się na przecięciu okręgów o promieniu r_u i prostopadłych względem siebie średnic:

m - liczba pierścieni

k - kolejny numer punktu pomiarowego

R - promień

N - liczba punktów pomiarowych

F - pole przekroju poprzecznego F = пR²

ΔF_i - powierzchnia części przekroju poprzecznego, której odpowiednia prędkość odpowiada prędkości v_i

Przy przepływie osiowosymetrycznym, gdy v nie zalezy od kąta kierunkowego

Można także obliczyć energię kinetyczną płynu przypadającego na jednostkę czasu, w którym płyn przepływa przez przewód

Współczynnik Coriolisa (α) to stosunek rzeczywisty energii kinetycznej strumienia płynu i energii, jaką miałby strumień płynu gdyby prędkość jego była w calymprzekroju równa v_śr

E_k=mv_śr/2 = ρv_śrv/2 = ρFv_śr³

α = E_k/ E_k^*

α = E_k/ E_k^**1/( v_śr³R²)

23 Rownanie Bernoulliego dla plynu idealnego.

Płyn idealny v=0 ;
rot
=0 ruch ustalony

Równanie Eullera dla tego płynu
= G -
grad p

=>

Czyli

v(x,y,z) grad (
;
;
)

v(grad v)= G -
grad p

v(grad v)=

= G -
grad p

- G - G -
grad p =0

G=grad v - potencjał sil masowych

grad p=grad p - cisnienie p =

grad

grad(
+ n +p)= 0 n= -gz p= const

+ n +p= const

+ gz+
-- - dla gazu

+ gz+
= const --- dla cieczy

Dla cieczy rzeczywistej

+ gz+
+

Gdzie:

=

24 Rownanie Eulera dla plynu doskonałego

x,y,z-skladowe Si masowych przypadających na jednostke masy w kierunku osi współrzędnych

dm=

dm—masa elementarnego prostopadłościanu

Mnożę siłe składowa z masy elementu z „-`'

Gdy układ sil jest w równowadze to zgodnie z zasada De'Alamberta suma rzutow sil = 0

25 Równanie Bernouliego dla jednowymiarowego stacjonarnego przepływu strugi.

dv/dt+v*dv/ds=GS-(1/ro)*dp/ds+(lambda*g*v²/2D)

Pole grawitacyjne:

v*dv/ds-GS+1/ro*dp/ds+(lambda*g*v²/2D)=0

½*dv²/ds+g*dz/ds+(lambda*g*v²/2D)=0 /*ds.

½ * dv²+gdz+dp/ro+( lambda*g*v²/2D)*ds=0

v²/2+p/ro+gz=const

dla cieczy rzeczywistej

v²/2+p/ro+gz+(lambda*g*v²/2D)+(ε*v²*g/2)=const

dla gazu

v²/2+g*dp/ro+gz=const

pv=(z)RT; v=1/ro

p/ro=RT(z)

I=p/RT

p=IRT(z)

26 Równanie Bernouliego dla płynu idealnego.

V=0

dv/dt=0 - przyśpieszenie lokalne

rotv =0

dv/dt=g=1/ro*▼p

dv/dt=(v*▼)*v=g-(1/ro)* ▼p

Z analizy matematycznej:

(v*▼)=1/2*▼*v²+v *rotv

½*▼*v²-g-(1/ro) * ▼p=0 g=-▼n

½*▼*v²+vn+▼p=0 1/ro▼=▼p

ro=const 1/ro▼p=▼p/ro

v²/2+n+p=const

v²/2+n+ p/ro=const

n=g_z

v²/2+g_z+ p/ro=const

Równanie Bernouliego - przemiana gazowa

R - indywidualna stała gazowa

pV=nRT

p/ρ=RT/μ z tego ρ=pμ/RT

V=-m/ρ ; n=m/μ ; R=R^*M

pm/ρ=m R^*μT/μ

p/ρ= R^*T

ρ=p/ R^*T / ∫

∫dp/ρ + v² = const

R^*T ∫dp/ρ + v²/2 = const

R^*T ln│p│+v²/2 = const

27 Równanie ruch płynu doskonałego (równanie Eulera) wyprowadzone z równowagi sił

Równanie ruchu płynu doskonałego wynika z zasady zachowania pędu, gdzie pochodna płynu zawartego wewnątrz obszaru V względem czasu jest równa sumie sił zewnętrznych czyli:

Stosując twierdzenie GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO i pamiętając, że p_A=-n*p otrzymujemy:

dV=0

Ze względu na dowolność obszaru całkowania V dla każdego elementu dv funkcja podcałkowa musi się zerować. Otrzymujemy więc:

Równanie płynu doskonałego lub równanie Eulera okresla zasadę zachowania pędu gdyż wystarczy rozdzielić różniczki dV/dt i pomnożyć je przez masę a otrzymam równanie pędu w klasycznej postaci. Równanie to można przedstawić w zapisie skalarnym w następujący sposób:

28 Równanie Bernouliego wyprowadzone z równania Eulera

W celu wyprowadzenia równania Bernouliego z całki równania Eulera zależy uzyskać związek algebraiczny pomiędzy prędkością przepływu płynu, a jego ciśnieniem. Jest to możliwe w przypadku ruchu ustalonego, potencjalnego dla płynu o stałej gęstości
.

Należy przekształcić całkę Eulera do postaci w której wystąpi rotacja prędkości (rot v). rozważamy składowe substancjalne dla kierunku X

Ostatnią część powyższych obliczeń można zapisać dla kierunków Y i Z w taki sam sposób. Można więc zapisać równanie wektorowe

Po podstawieniu otrzymamy

Jest to równanie w formie Lambra-Gromek

29 Równanie Bernoulliego dla płynu ściśliwego (dwuwymiarowego).

Przepływ stacjonarny- przepływ po liniach prędkości

Vxdy=Vydx

Po dodaniu stronami tych dwóch równań otrzymujemy:

Poprzez powyższe przekształcenia dochodzimy do równania Bernoulliego mającego w tym przypadku postac:

30 Równ. Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego płynu nieściśliwego.

ρ =const

-równanie Eulera

= (ΰ*▼)*ΰ= G -

=0
=▼p

(ΰ*▼)*ΰ=1/2▼V² + V x rot ΰ

rot ΰ = 0

przepływ bezwymiarowy

1/2▼V² = G - 1/
▼p

G = -g²

1/2▼V^{2 =} ▼V - 1/
▼p

V²/2 = - 1/
p - g²

V²/2 + g_z +p/
/:

gV²/2 + g_z + p/V = const

=G-1/
gradp

=G-1/

=(ΰ*▼)*ΰ=G-1/

=0
=▼p

(ΰ*▼)*ΰ=1/2▼V² + V x rot ΰ

rot ΰ = 0

1/2▼V² = G - 1/
▼p

G-g_zG=▼V

▼V²/2 = ▼V-1/
▼p

▼V²/2=▼(V-1/
p)

V²/2 V-p/

☻☻☻

31 Równanie Bernoulliego -przeniana adiabatyczna

Przyjmujemy związek miedzy cisnieniem i gęstością dla przemiany adiabatycznej odpowiadającej z dostatecznym przybliżeniem niektórym zjawiskom zachodzącym przy przepływie gazow

Po podstawieniu do równania Bernoulliego otrzymujemy równanie w przemianie adiabatycznej wzdłuż strumienia :

= const

= const

Rozwiązując strumien gazu można napisac row. Bernoulliego dla dwoch przekrojow w postaci

32 Równanie Eulera dla płynu ściśliwego

Siły ściskające pochodzą od pozostałych części płynu.

Założenia:

1) zasada de'Alamberta εF_i=0; F_c=F+G

2) G0 τ 0

wiadomo, że

pn= cos(sinx)p+jcos(n,y)p+kcos(u,ε)p

z tw. Gaussa:

lim

^τ0

Równanie ma postać

ruch płynu doskonałego

Równanie Eulera dla trzech osi (x,y,z)

F_x,F_y,F_z - jednostkowe siły masowe działające wzdłuż osi x,y,z

Równanie Eulera dla płynu doskonałego

33 Równanie przepływu dla strugi

Struga jest to zespol lini pradu wypełniający rurke

S- droga plynu , v—droga prędkości przepływu , F - pole przekroju poprzecznego

v(s,t)=

vdF=dv / *

34 Równanie równowagi płyny:

W cieczy znajdującej się w spoczynku wyznaczamy sześcian o krawędziach dx, dy, dz równoległych do odpowiednich osi układu współrzędnych. Na sześcian działają następujące siły:

- powierzchniowe normalne;

- masowe;

Ciśnienie p znajduje się w punkcie M będącym środkiem sześcianach prostopadłych do osi x odległych o -1/2dx i 1/2dx wynoszą:

i

Natomiast siły powierzchniowe wynoszą:

Siły masowe działające na sześcian otrzymujemy przez przemnożenie jednostkowej siły masowej x, y, z przez masę elementu.

dF_x = ρ_xdxdydz

dF_y = ρ_ydxdydz

dF_z = ρ_zdxdydz

Z warunków równowagi wynika, że suma sił działających na element (powierzchniowych powierzchniowych masowych) na dowolnie wybrany kierunek musi być równa zero. Wyprowadzenie jest takie samo na każdą oś x, y, z.

Wyprowadzenie na oś x:

Wyliczamy analogicznie równanie na osi y i z

i

układ równania różniczkowego Eulera

Po przemnożeniu przez dx, dy, dz i dodając

różniczka zupełna ciśnienia

równanie równowagi płynu

35 Równ. różniczkowe ciągłości dla ruchu płynu ścisliwego - równanie Eulera dla gazu

ρ(x,y,z,t)
0

W kierunku osi x wpływa w czasie dt do elementarnego sześcianu masa płynu
. Dla tego przypadku czas lub przyrost czasu równy jest:

Całkowity przyrost masy płynu w danym elemencie wynosi:

jeżeli dana gęstość ρ(x,y,z,t) tyle wynosiła w czasie t₀, a w czasie t+dt gęstość będzie równa

ρ(x,y,z,t+dt)= ρ+dp/dt

Masa płynu też ulegnie zmianie od p dx dy dz dt do wartości

W czasie t+dt przyrost masy będzie wynosił

Wobec tego:
albo

36 Różniczkowe równanie ruchu Eulera

Aby wyznaczyć równanie obieramy powierzchnie kontrolną S obejmującą V płynu na taką powierzchnie działaja siły zewnętrzne masowe i powierzchniowe z których wyznaczamy równanie. Siły powierzchniowe to siły wywierane z zewnątrz przez płyn otaczający powierzchnie kontrolną S. Siły ściskające:

n - normalna zewnętrzna siły o zwrocie”+”

Siły masowe są to siły równomiernie rozłożone w płynie jednorodnym

G - jednostkowa siła masowa

Prąd elementarny masowy dm wynosi

Prąd całkowity układu wynosi

Z II zasady dynamiki Netona, która mówi, że pochodna pędu układu względem czasu równa jest wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na układ

F_zew=M+N

Z tw. Gaussa zmieniamy całkę powierzchniową na objętościową

Równanie Eulera w kierunku osi x,y,z

Równanie Eulera dla płynu doskonałegow przepływie nieustalonym

37 Srumień objetości powietrza. Wyznaczenie współczynnika Corriolosa.

Określenie rozkładu prędkości polega na przyporządkowaniu wartości prędkości każdemu punktowi tego przekroju. W przewodzie o przekroju kołowym poszczególne punkty można wybrać na pięciu okręgach o promieniu r_k i prostopadłych względem siebie średnic. Strumień objętość przepływu wynosi.

n- liczba punktów powłokowych

V_i - prędkość zmienna w tej części przekroju ;
F_i - powierzchnia przekroju

Przy przepływie osiowo symetrycznym gdy prędkość przepływu nie zależy od kata kierunkowego pomiaru prędkości upraszcza się, strumień objętości wynosi:

Elementarna energia kinetyczna płynu o stałej gęstości ρ przepływającego w jednostce czasu przez przekrój przewodu o powierzchni F jest równa:

Gdzie : dm - elementarna masa ; dV - elementarna objętość płynu przepływającego przez powierzchnię dF w jednostce czasu.

Skąd :
dla przekroju kołowego:

Współczynnik Corriolliossa
nazywamy stosunek energii kinetycznej strumienia płynu do energii jaką miałby ten strumień gdyby jego prędkość w całym przekroju była równa prędkości średniej
. Energia kinetyczna płynu pomniejszającego się w całym przekroju z prędkością v_Śr przypadając na jednostke czasu jest równa:

dlatego dla przewodu kołowego:

38 Stosunek prędkości średniej do max.

Cel ćwiczenia określa Vśr/Vmax przy przepływie płynu przez przewód w zależności od liczby Reynoldsa. W ćwiczeniu bada się przepływ powietrza przez przewód o przekroju kołowym. Założenia: płyn lepki nieściśliwy, przepływ ustalony, przewód kołowy o średnicy D. Układ współrzędnych taki, że pokrywa się z osią przewodu. Równanie Novera-Stokesa dla ruchu laminarnego: 1/ro*dp/dt=ni*(d²v/dr²+1/r*dv/dt) gdzie p-ciśnienie, ro- gęstość, ni- kinematyczny współczynnik lepkości. dp/dz = -deltap/l=const. Delta p- różnica ciśnień miedzy przekrojami odległymi od siebie o l.

1. -1/ro*deltap/l=ni(d²v/dr²+1/r*dv/dr)

2. -1/ro*deltap/l=ni*1/r*dv/dr*(r*dv/dr)+1

Po scałkowaniu mamy: 3. -1/ro*deltap/l*r²/4=ni(v(r)+c₁*r+c₂) gdy v=R- v=0 -prędkość na powierzchni kontaktu z ciałem stałym.

v(r)= delta*R²/4*(1-(r²/R²)) z czego wynika że v_max=v(r=0)=(delta*R²)/4mi

Q=całka v_d*F=2pi*calka v(r)dr=pi/8*(lambda*p*k⁴)/(mi*l) gdzie mi to dynamiczny współczynnik lepkośći.

V_śr=Q/F=(deltap*R²)/(8mi*l), V_śr= ½*v_max - w ruchu.

W przepływie turbulentnym prędkość nieznacznie maleje w podstawowym rdzeniu strumienia płynu i szybko maleje przy ścianach.

39 Współczynnik oporu liniowego

Podczas przepływu płynu przez występują straty ciśnienia na oporach zwanych lokalnymi, poprzez co występują zmiany kierunków oraz modułów wektorów prędkości. Występujące zawirowania powodują większe straty od strat występujących podczas przepływu przez odcinek prostoliniowy. Występują one na skutek nagłego zwężenia i rozszerzenia przewodu o stałej średnicy, zakrzywienia przewodu, konfuzora (stożkowy). Strat na oporze liniowym

-bezwzględny współ. oporu odniesiony do prędkości za przeszkoda zależy od kształtu elementu wywierającego opór, prędkość przepływu gęstości, lepkości płynu. W przepływie laminarnym ρ maleje ze wzrostem Re. Natomiast przy przepływie turbulentnym ξ jest wartością stałą.

Stała ciśnienia przy oporze

-liniowym

-lokalnym

Zmiana ciśnienia związana jest także ze zmiany energi

[Pa]
- współczynniki Coriollosa

v₁ v₂ - średnie prędkości

40 Wzór Hagena Passenielle'a.

---