Ruch wahadła matematycznego o długości l wychylonego z położenia równowagi można opisać równaniem różniczkowym :
( 1 )
gdzie:
- kąt wychylenia od położenia równowagi;
t - czas;
g - przyspieszenie ziemskie;
l - długość wahadła;
Problem upraszcza się , jeżeli ograniczyć się do małych wartości wychyleń. Dostatecznie dokładne jest wtedy przybliżenie sin = i równanie ( 1 ) sprowadza się do postaci:
Przy większych wychyleniach rozwiązanie staje się bardziej skomplikowane. Wahadło staje się oscylatorem nieliniowym. Okres wahań można wyrazić wtedy wyrazić wzorem:
Zmiany okresu wahań wraz ze zmianą amplitudy można przedstawić przy pomocy bezwymiarowej wielkości:
Wykres funkcji f (Aśr) stanowi graficzny obraz względnych zmian okresu wahań, gdzie
Aśr jest równe średniej arytmetycznej amplitudy początkowej A1 i amplitudy ostatniego wahnięcia A2 w danym pomiarze.
WYNIKI POMIARÓW:
Lp. |
Amplituda |
Liczba |
Czas |
Okres |
||
|
pocz. A1 |
końc. A2 |
śred. Aśr |
wahnięć |
|
|
1 |
5 |
5 |
5 |
30 |
33,8 |
1,126 |
2 |
5 |
5 |
5 |
30 |
33,9 |
1,13 |
3 |
5 |
5 |
5 |
30 |
33,8 |
1,126 |
4 |
5 |
5 |
5 |
30 |
33,7 |
1,123 |
5 |
5 |
5 |
5 |
30 |
33,8 |
1,126 |
6 |
5 |
5 |
5 |
30 |
33,8 |
1,126 |
7 |
15 |
8,5 |
11,75 |
20 |
22,6 |
1,13 |
8 |
25 |
13,5 |
19,25 |
20 |
23,1 |
1,155 |
9 |
35 |
20,5 |
27,75 |
20 |
23,1 |
1,155 |
10 |
45 |
26,5 |
35,75 |
20 |
23,5 |
1,175 |
11 |
55 |
35 |
45 |
20 |
23,9 |
1,195 |
12 |
65 |
42 |
53,5 |
20 |
24,1 |
1,205 |
13 |
75 |
51 |
63 |
20 |
24,6 |
1,23 |
14 |
85 |
59,5 |
72,25 |
20 |
25,1 |
1,255 |
15 |
90 |
57 |
73,5 |
20 |
25,5 |
1,275 |
Wartość T wynosi:
Średnia arytmetyczna T (A ) i wartość wyrażenia f (A ) wynoszą :
Wartości pozostałych okresów:
Ao |
T (Aśr) |
f (Aśr) |
T (Aśr) |
f (Aśr) |
15' |
1,13 |
-0,011 |
1,148 |
0,004 |
25' |
1,155 |
0,01 |
1,165 |
0,019 |
35' |
1,155 |
0,01 |
1,17 |
0,024 |
45' |
1,175 |
0,028 |
1,188 |
0,039 |
55' |
1,195 |
0,045 |
1,208 |
0,057 |
65' |
1,205 |
0,054 |
1,236 |
0,081 |
75' |
1,23 |
0,076 |
1,27 |
0,111 |
85' |
1,255 |
0,098 |
1,31 |
0,146 |
90' |
1,275 |
0,115 |
1,343 |
0,175 |
Alicja Beck Mariusz Poliński
Ćwiczenie nr 113
Temat : Badanie zależności okresu drgań wahadła od amplitudy .
( dla dużych wychyleń )
Ocena :