ĆWICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ  ZADANIA
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
1. Obliczyć pochodne funkcji:
"
4
x
3
a) f(x) = - ; b) f(x) = -3 cos3(6x); c) f(x) = arcsin(2x);
x 2x
1 arcsin x
d) f(x) = ; e) f(x) = ; f) f(x) = 23x+5;
sin arccos x

"x

"
ln x
g) f(x) = e ; h) f(x) = 1 + ln2 x; i) f(x) = + x;
x

"
"
3
j) f(x) = esin x; k) f(x) = ln(x + x2 + 1); l) f(x) = x + + 3 x;
xx
1
m) f(x) = x6x; n) f(x) = (cos x)sin(2x); o) f(x) = 1 + ;
x
x
Ä„ 1
2 sin x ln2 x
p) f(x) = (tg(2x))ctg ; q) f(x) = (x + 1) ; r) f(x) = x .
2. Obliczyć pochodne funkcji:


"

"
1-
1-arcsin x
"x
a) y = ; b) y = sin x + x + 2 x; c) y = ;
1+ x 1+arccos x
1
x
ln x
d) y = arc tg(2 tg + 1) - x; e) y = ln(ln(ln x)); f) y = x ;
2

x
1 x 1
g) y = ee ; h) y = ln(1 + )x; i) y = .
x x
3. Obliczyć pochodne funkcji:
" "
3
a) y = (1 + x) 2 + x2 3 + x3,
b) y = sin(cos2(tg3 x)),
"
c) y = eax a sin bx-b cos bx,
a2+b2
x
d) y = xx + xx + x.
4. Uzupełnić tabelkę:
Funkcja ciągła różniczkowalna klasy C1
y = |x|
y = x|x|

1
sin , x = 0

x
y =
0, x = 0

1
x sin , x = 0

x
y =
0, x = 0

1
x2 sin , x = 0

x
y =
0, x = 0
5. Wykazać, że funkcja f(x) = |x| nie jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0.
6. Zbadać różniczkowalność funkcji:
a) f(x) = |x2 - x - 6|; b) f(x) = | sin(3x)|;

x2 dla x d" 1 x3 dla x d" 1
c) f(x) = ; d) f(x) = .
ax + b dla x > 1 -3x2 + 6x - 2 dla x > 1
1
7. Pokazać, że funkcje rzeczywiste:
a) xn, n " N;
b) loga x, 0 < a = 1;

c) xr, r " R
mają pochodne w każdym punkcie swojej dziedziny.
8. Dla jakich wartości ą funkcja:

1
|x|Ä… sin , x = 0

x
f(x) =
0, x = 0
w punkcie x0 = 0
a) jest ciągła;
b) ma pochodnÄ…;
c) ma ciągłą pochodną?
9. Znalez
ć kąty, pod jakimi przecinają się krzywe:
a) y = sin x, y = cos x;
b) y = x2, y2 = x.
10. Pokazać, że jeżeli f jest funkcją różniczkowalną na całej dziedzinie oraz a) parzystą,
b) okresowÄ… o okresie T , to jej pochodna f jest funkcjÄ… a) nieparzystÄ…, b) okresowÄ…
o okresie T .
11. Pokazać, że:
a-b a a-b
a) < ln < dla 0 < b < a;
a b b
b) | sin x - sin y| d" |x - y|;
c) | arc tg x - arc tg y| d" |x - y|;
2x
d) 2 arc tg x + arc sin = Ä„ sgn x dla |x| e" 1;
1+x2
1
e) 3 arccos x - arccos(3x - 4x3) = Ä„ dla |x| d" .
2
12. Dla jakiej wartości parametru a parabola y = ax2 jest styczna do krzywej y = ln x?
13. Obliczyć granice:
tg x-x
a) limx0 x-sin x; b) limx0 x ctg x-1; c) limx0 1-cos2 x;
x2 x2 sin2 x
+
d) limx0 arcsin 2x-2 arcsin x; e) limx0 ln(sin ax), a, b > 0; f) limx+" ln x, Ä… > 0;
ln(sin bx) xÄ…
cos x3
ex
+ + +
g) limx0 x x - ; h) limx0 x2 ln x; i) limx0 (sin x)x;
sin x
+
j) limx Ä„ -(tg x)2 cos x; k) limx0 (1 + x)ln x.
2
14. Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji:
a) f : [0; +") - R, f(x) = xne-x, (n " N);
b) f : R - R, f(x) = x + | sin 2x|.
2
1
15. Zbadać monotoniczność funkcji f(x) = (1 + )x w przedziale:
x
a) (0; +"),
b) (-"; -1).
16. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
x
a) f(x) = ;
1+x2
1
b) f(x) = ;
1+x2
2
c) f(x) = e-x ;
17. Znalez
ć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:
a) y = x + sin x;
b) y = ln(1 + x2);
c) y = x ln x, x > 0;
d) y = xx, x > 0.
18. Zbadać wypukłość funkcji:
a) y = xÄ…, Ä… > 0,
b) y = ex.
19. Udowodnić wzór Leibniza:

k

k
(f · g)(k)(x) = f(i)(x) · g(k-i)(x).
i
i=0
20. Obliczyć:
a) (x2e2x)(20),
(100)
1+x
"
b) .
1-x
21. Podać rozwinięcie w szereg Taylora rzędu n w otoczeniu punktu x0 = 0 funkcji
f(x) = (1 + x)ą, gdzie ą " R. Rozważyć szczególne przypadki dla ą = 0, ą = 1,
1
Ä… = -1, Ä… = .
2
1 1 1
22. Wykazać, że ln 2 = 1 - + - + . . ..
2 3 4
23. Pokazać, że:
x2 x3 x4
a) ln(1 + x) = x - + - + . . . dla |x| < 1;
2 3 4
x3 x5 x7
b) arc tg(x) = x - + - + . . . dla |x| < 1;
3 5 7
24. Napisać wzór Maclaurina dla funkcji f(x). Zbadać limn+" Rn.
a) f(x) = ex, x ";
b) f(x) = sin x, x ";
c) f(x) = cos x, x ";
3
d) f(x) = (1 + x)a, gdzie a " N oraz |x| < 1;

1
e- x2
dla x = 0

e) f(x) = .
0 dla x = 0
4