ANALIZA
MATEMATYCZNA
2
Lista zadań
2005/2006
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Lista pierwsza
1.1
Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
" " "

dx
a) ; b) 2-x dx; c) x sin x dx;
(x + 2)2
Ä„
1 0
" "
0
dx dx dx
d) ; e) " ; f) ;
3
x2 + 4 x2 -4x + 13
3x + 5
-" 1 -"
" -1 "

3 x2 dx
g) x2e-x dx; h*) (Ä„ - arc ctg x) dx; i*) .
x6 + 1
-" -" 0
1.2
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych
pierwszego rodzaju:
" " "

dx (x - 1) dx (1 + sin x) dx
a) " ; b) ; c) ;
x - 3 x4 + x + 1 x3
Ä„
10 2

"
" "
0
2 + cos x dx
2x dx x dx
d) ; e) " ; f) " .
3
x - 1 x-1
x7 + 1
-" 0 2
1.3
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierw-
szego rodzaju:
" -1 "

x dx e2x + 1 dx 1
a) " ; b) ; c) sin2 dx;
ex - 1 x
x5 - 3
5 -" 1
" " "
x2
x2 dx (2x - 1) dx x+1
d) ; e*) ; f*) e-x dx.
x3-sin x x22x + 1 x
1 0 10
1.4
Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną podanych całek niewłaściwych:
" " "

sin 3x dx x2 sin x dx
a) ; b) x cos 2x dx; c) ;
e2x + 1 x4 + 1
Ä„
0 0
" "
0
cos x dx 2x cos x dx cos x dx
d) ; e*) ; f*) " .
x2 + 1 4x + sin x x
Ä„
-" 0
2
1.5
Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych drugiego rodzaju (dla
całek zbieżnych obliczyć ich wartości):
2
 0 Ä„ 3
dx dx dx
a) " ; b) ; c) ;
5
sin x x(x - 3)
x2
Ä„
-1 2
2
e 5 e
ln x dx 2x dx sin ln x dx
d) ; e) ; f*) .
x 2x - 8 x
0 3 0
1.6
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych
drugiego rodzaju:
"
2
2 Ä„
1 1 ex dx cos2 x dx
a) " arc tg dx; b) ; c) " ;
3
x x x3 x - Ä„
0 0 0
4 2 3
dx dx x6 dx
d) " ; e*) " ; f*) .
x2 + x (x - 1)2
16 - x4
0 0 1
1.7
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych dru-
giego rodzaju:
Ä„ 1 Ä„
sin3 x dx e2x - 1 dx dx
a) ; b) " ; c) " ;
3 3
x4 cos x
x4
Ä„
0 0
2
1 0 Ä„
dx dx dx
d) ; e*) " ; f*) ;
(arc sin x)2 x - sin x
ex - e2x
0 -1 0
2 1 2
dx dx dx
g*) " ; h*) ; i*) .
x2 - x ex - cos x 2x - x2
1 0 1
* 1.8
Zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych, które są jednocześnie całkami niewłaści-
wymi pierwszego i drugiego rodzaju:
" " "

dx dx dx
a) ; b) ; c) " ;
x2 - 1 x + sin x x3 + x
1 0 0
" " "

dx dx dx
d) ; e) ; f) " .
3x - 2x ln x
x2 x - 2
0 1 2
Lista druga
2.1
Znalez
ć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
n
" " "

5 n - 1 1
a) ; b) ; c) ;
6 n! (2n - 1)(2n + 1)
n=0 n=2 n=1
" " "

1 1 n
d) "
" ; e*) arc tg ; f*) .
2n2 2n
n + 1 + n
n=1 n=1 n=1
3
n

Uwaga. W przykładzie b) przyjąć, że Sn = ak, gdzie n 2.
k=2
2.2
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów:
" " "

1 n ln n
a) ; b) ; c) ;
n2 + n n2 + 4 n2
n=1 n=1 n=2
" " "
"

"
1 1
d) " ; e) n 2- n; f*) .
n ln n ln ln n
n n + 1
n=1 n=1 n=3
2.3
Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych szeregów:
" " "

3 n + 1 Ä„
a) ; b) ; c) sin ;
n2 + 2 n2 + 1 2n
n=1 n=1 n=1
" " "

2n + sin n! 3 - 2 cos n2 1
d) ; e) " ; f) " ;
n
3n n
n!
n=0 n=1 n=2
" " "

3n + 1 Ä„ 1
g) ; h*) tg ; i*) .
n3n + 2n 4n
(ln n)ln n
n=1 n=1 n=2
2.4
Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność podanych szeregów:
" " "

100n Ä„ n!
a) ; b) n2 sin ; c) ;
n! 2n nn
n=1 n=1 n=1
" " "

(n!)2 nn 2n + 1
d) ; e) ; f) ;
(2n)! 3nn! n5 + 1
n=1 n=1 n=1
" " n "

"
(3n + 1)3 ln n
k
g) ; h*) 1 - 2 ; i*) .
3n
(5n + 1)2
n=1 n=2 k=2 n=2
2.5
Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność podanych szeregów:
2
" " "

(n + 1)2n 2n + 3n 3nnn
a) ; b) ; c) ;
(2n2 + 1)n 3n + 4n (n + 1)n2
n=1 n=1 n=1

" " "
n
"
1 Ä„ 1
n
d) arc cosn ; e) tgn - ; f) 2 - 1 .
n2 3 n
n=1 n=1 n=2
2.6
Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów:
" " "

n2 + n + 1 2n - 1 1
a) ; b) ; c) arc tg ;
2n3 - 1 3n - 1 n2
n=1 n=1 n=1
Ä„
" " "
sin

n + 1 n
3n
d) ; e) " ; f) ln .
Ä„
n + 3
n3 + 1
sin
n=1 n=1 n=1
2n
4
Lista trzecia
2.7
Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego
zbieżności szeregów uzasadnić podane równości:
7n nn
a) lim = "; b) lim = 0;
n" n"
n5 (n!)2
n! (3n)!(4n)!
c) lim = 0; d*) lim = 0.
n" n"
nn (5n)!(2n)!
2.8
Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną podanych szeregów:
n
" " "

(-1)n+1 -2n (-1)nn
a) ; b) ; c) ;
2n + 1 3n + 5 n2 + 1
n=1 n=1 n=2
E
(n)
2
" " "

"
(-2)n (-1)
d) (-1)n n 3 - 1 ; e) ; f*) .
3n + 1 n + 1
n=2 n=0 n=0
2.9
Wyznaczyć przedziały zbieżności podanych szeregów potęgowych:
" " "

xn (x + 3)n
a) ; b) n(x - 2)n; c) ;
n2n n3
n=1 n=1 n=1
" " "

xn n n!xn
d) ; e) (x + 1)n; f*) .
2n + 3n n2 + 1 nn
n=0 n=1 n=1
2.10
Znalez
ć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
2 x
a) ; b) cos ; c) xe-2x;
1 - 3x 2
x
d) ; e) sh x; f*) sin4 x.
9 + x2
2.11
Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć podane pochodne:
x
a) f(50)(0), gdzie f(x) = x sin x; b) f(2006)(0), gdzie f(x) = ;
ex
x3
c) f(21)(0), gdzie f(x) = ; d) f(10)(0), gdzie f(x) = sin2 3x;
1 + x2
e) f(25)(0), gdzie f(x) = x2 ln(1 - x); f*) f(30)(1), gdzie f(x) = xex.
2.12
Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy
podanych szeregów:
" " "

1 n(n + 1) 2n - 1
a) ; b) ; c) ;
(n + 1)2n 4n 3n
n=0 n=1 n=2
" " "

n n2 1
d*) ; e*) ; f*) .
(n + 2)2n 25n (2n + 1)4n
n=1 n=1 n=0
5
Lista czwarta
3.1
Spośród podanych zbiorów na płaszczyz
nie lub w przestrzeni wskazać te, które są ograniczone,
otwarte, domknięte. Które z tych zbiorów są obszarami?

a) A = (x, y) " R2 : x2 < y < 2x2 ;

b) B = (x, y, z) " R3 : xyz = 0 ;

c) C = (x, y, z) " R3 : x2 + y2 + z2 < 9 .
3.2
Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji:
x2y x2 + y2 - 4
a) f(x, y) = ; b) g(x, y) = ln ;
9 - x2 - y2
x2 + y2 - 25

"
"
c) h(x, y, z) = x + y - 1 + z - 2; d) k(x, y, z) = arc sin x2 + y2 + z2 - 2 .
3.3
Znalez
ć poziomice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować te wykresy:

a) f(x, y) = x2 + y2; b) g(x, y) = 4 - x2 - y2;
c) h(x, y) = sin y; d) p(x, y) = ex-y.
3.4
Zbadać, czy podane ciągi punktów na płaszczyz
nie lub w przestrzeni są zbieżne (dla ciągów
zbieżnych wskazać ich granice):
n n
Ä„ 1 1
a) (xn, yn) = (-1)n, sin ; b) (xn, yn) = 1 + , 1 - ;
n n n


"
n2 1
n
c) (xn, yn, zn) = , 2, 3 ; d) (xn, yn, zn) = 0, , 3n .
n2 + 1 2n
3.5
Obliczyć, jeżeli istnieją, podane granice funkcji:


1 1 - cos x2 + y2
a) lim x2 + y2 sin ; b) lim ;
(x,y)(0,0) xy (x,y)(0,0)
(x2 + y2)2
x + y - 2 sin2 x
c) lim ; d) lim ;
(x,y)(1,1) x2 + y2 - 2 (x,y)(Ä„,0) y2

x2y
e*) lim y ln x2 + y2 ; f*) lim ;
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0) x4 + y2
x4 + y4 x2y
g*) lim ; h*) lim .
(x,y)(0,0) x2 + y (x,y)(0,0) x2 + y3
3.6
Znalez
ć zbiory punktów ciągłości podanych funkcji:
6


1 - x2 - y2 dla x2 + y2 1,
a) f(x, y) =
0 dla x2 + y2 > 1;

sin x dla y 0 oraz x " R,
b) f(x, y) =
1 dla y < 0 oraz x " R;

ex dla x < y,
c) f(x, y) =
ey dla x y.
Lista piÄ…ta
4.1
Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne cząstkowe rzędu pierwszego podanych
funkcji we wskazanych punktach:

x2 + y2 dla xy = 0,
a) f(x, y) = (x0, y0) = (0, 0);
1 dla xy = 0,


5
b) f(x, y, z) = xy(z - 1), (x0, y0, z0) = (0, 0, 1);
Å„Å‚
x dla y = 0,
ôÅ‚
òÅ‚
c*) f(x, y) = (x0, y0) = (0, 0).
y2 dla x = 0,
ôÅ‚
ół
1 w pozostałych punktach,
4.2
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
x2 + y2 xz
a) f(x, y) = ; b) f(x, y, z) = x2 + + yz3;
xy y
1 - xy x
c) f(x, y) = arc tg ; d) f(x, y, z) = ;
x + y x2 + y2 + z2
y
sin
x
e) f(x, y) = e ; f) f(x, y, z) = sin(x cos(y sin z)).
4.3
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy
pochodne cząstkowe mieszane są równe:

a) f(x, y) = sin x2 + y2 ; b) f(x, y) = xexy;

1
c) f(x, y, z) = ; d) f(x, y, z) = ln x2 + y4 + z6 + 1 .
x2 + y2 + z2
4.4
"2f "2f
Zbadać, czy równość (0, 0) = (0, 0) jest prawdziwa dla funkcji:
"x"y "y"x
Å„Å‚
ôÅ‚ x2y3

òÅ‚
dla (x, y) = (0, 0),

3
a) f(x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = x6 - 8y3.
ôÅ‚
ół
0 dla (x, y) = (0, 0);
4.5
Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji:
7
"3f "4f x + y
a) , f(x, y) = sin xy; b) , f(x, y) = ;
"x"y2 "y2"x"y x - y
"3f x2y3 "5f
c) , f(x, y, z) = ; d) , f(x, y, z) = exy+z.
"x"y"z z "x"y2"z2
Lista szósta
* 4.6
Korzystając z definicji zbadać różniczkowalność podanych funkcji we wskazanych punktach:
"
3
a) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (0, 0);
Å„Å‚

1
ôÅ‚
òÅ‚
x2 + y2 sin dla (x, y) = (0, 0),

x2 + y2
b) f(x, y) = (x0, y0) = (0, 0);
ôÅ‚
ół
0 dla (x, y) = (0, 0),

c) f(x, y, z) = x4 + y4 + z4, (x0, y0, z0) = (0, 0, 0).
4.7
Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punk-
tach wykresu:

a) z = x2 y + 1, (x0, y0, z0) = (1, 3, 2);
b) z = ex+2y, (x0, y0, z0) = (2, -1, 1);

"
arc sin x 1 3
c) z = , (x0, y0, z0) = - , , -1 ;
arc cos y 2 2
d) z = xy, (x0, y0, z0) = (2, 4, 16).
4.8
Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:

3
a) (1.02)3 · (0.997)2; b) (2.93)3 + (4.05)3 + (4.99)3;
cos 0.05
c) 2.97 · e0.05; d) .
1.96
4.9
a) Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ą1 mm. Otrzymano h =
350 mm oraz r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V
tego stożka?
b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przy-
bliżeniu, jak zmieni się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich
krawędzi zwiększymy o 2 cm.
c*) Robot do zgrzewania karoserii samochodowych składa się z dwóch przegubowych ramion
o długości a = 1 m, b = 2 m (rysunek). Położenie zgrzewarki jest określone przez kąty
Ä„ Ä„
Ä… = , ² = . Obliczyć w przybliżeniu dokÅ‚adność jej poÅ‚ożenia, jeżeli kÄ…ty odchylenia
4 3
ramion ustawiane sÄ… z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… "Ä… = "² = 0, 003 rad.
8
y
b
²
Ä…
x
a
4.10
Wykorzystując reguły różniczkowania funkcji złożonych obliczyć pochodne cząstkowe pierw-
szego rzędu względem x i y podanych funkcji:
u
a) z = f(u, v) = ln , gdzie u = x sin y, v = x cos y;
v + 1
x
u y
b) z = f(u, v, w) = arc sin , gdzie u = e , v = x2 + y2, w = 2xy.
v + w
Lista siódma
4.11
Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punk-
tach i kierunkach:

" "
2 2
a) f(x, y) = 2|x| + |y|, (x0, y0) = (0, 0), = , ;
v
2 2

"
" 3 1
3
b) f(x, y) = xy, (x0, y0) = (1, 0), = , ;
v
2 2

3 4 12
c) f(x, y, z) = x2 + yz, (x0, y0, z0) = (-1, 0, 1), = , , .
v
13 13 13
4.12
Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:

12 5
a) f(x, y) = x2 + y2, (x0, y0) = (-3, 4), = , ;
v
13 13

"
1 3 3
b) f(x, y, z) = exyz, (x0, y0, z0) = (-1, 1, -1), = , - , .
v
2 4 4
4.13
Napisać wzór Taylora z resztą Rn dla podanych funkcji w otoczeniu wskazanych punktów,
jeżeli:

a) f(x, y) = sin x2 + y2 , (x0, y0) = (0, 0), n = 3;
b) f(x, y) = (x + y)3, (x0, y0) = (-1, 1), n = 4.
4.14
Zbadać, czy podane funkcje mają ekstrema lokalne:
9
a) f(x, y) = 2|x| + 3|y|; b) f(x, y) = 2x4 - 3y7;

c) f(x, y) = 2x2 + (y - x)4; d) f(x, y) = (x - 1)2 + (y + 2)2.
4.15
Znalez
ć ekstrema podanych funkcji:
a) f(x, y) = 3(x - 1)2 + 4(y + 2)2; b) f(x, y) = x3 + y3 - 3xy;
2
c) f(x, y) = x3 + 3xy2 - 51x - 24y; d) f(x, y) = e-(x +y2+2x);
e) f(x, y) = xy2(12 - x - y), gdzie x, y > 0;
8 x
f) f(x, y) = + + y; gdzie x, y > 0;
x y
g) f(x, y) = x2 + y2 - 32 ln(xy), gdzie x, y > 0;

Ä„ Ä„
h) f(x, y) = sin x + cos y + cos(x - y), gdzie (x, y) " 0, × 0, .
2 2
4.16
Znalez
ć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
a) f(x, y) = x2 + y2, |x| + |y| 2;
b) f(x, y) = xy2 + 4xy - 4x, -3 x 3, -3 y 0;
c) f(x, y) = x4 + y4, x2 + y2 9;

x2 - 1 y2 - 1
d*) f(x, y) = , R2.
x2 + y2 + 2
Lista ósma
4.17
a) W trójkącie o wierzchołkach A = (-1, 5), B = (1, 4), C = (2, -3) znalez
ć punkt M =
(x0, y0), dla którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny
o pojemności V , aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
c) Znalez
ć odległość między prostymi skośnymi:

x + y - 1 = 0, x - y + 3 = 0,
k : l :
z + 1 = 0, z - 2 = 0.
d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m3. Do budowy ścian magazynu
używane są płyty w cenie 30 zł/m2, do budowy podłogi w cenie 40 zł/m2, a sufitu w cenie
20 zł/m2. Znalez
ć długość a, szerokość b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy
będzie najmniejszy.
e*) Wśród trójkątów wpisanych w koło o promieniu R znalez
ć ten, który ma największe pole.
f*) Na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu (rysunek) wyznaczyć po jednym punkcie
w ten sposób, aby pole trójkąta o wierzchołkach w tych punktach było najmniejsze.
10
z
1
B
C
y
O 1
1
A
x
4.18
Zbadać, czy podane równania określają jednoznacznie ciągłe funkcje uwikłane y = y(x) na
pewnych otoczeniach zadanych punktów:
a) xy - yx = 0, i) A = (2, 4), ii*) B = (e, e), iii) C = (3, 3);
b) x4 - 2x2y2 + y4 = 0, i) A = (0, 0), ii*) B = (1, 1), iii) C = (-1, 1) .
4.19
Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi równaniami we wskazanych
punktach tych krzywych:
a) x3 + x - y3 - y = 0, (2, 2); b) x2 + y2 - 3xy + x = 0, (1, 1).
4.20
Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych y = y(x) określonych podanymi
równaniami:
a) xey - y + 1 = 0; b) x2 + y2 - 3xy = 0; c) x - y = sin x - sin y.
4.21
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych postaci y = y(x) określonych podanymi
równaniami:
a) x2 + y2 - xy - 2x + 4y = 0; b) (x - y)2 = y + xy - 3x.
Lista dziewiÄ…ta
5.1
Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach:

dxdy
a) , gdzie R = [0, 2] × [0, 1];
(x + y + 1)3
R

b) x sin xy dxdy, gdzie R = [0, 1] × [Ä„, 2Ä„];
R

c) e2x-y dxdy, gdzie R = [0, 1] × [-1, 0].
R
5.2
Podane całki podwójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych:
11

a) ex-y dxdy, gdzie R = [-1, 1] × [-1, 1];
R

x
b) xy ln dxdy, gdzie R = [1, e] × [1, 2];
y
R
"

xy2 + 4x4
c) dxdy, gdzie R = [1, 9] × [2, 3].
xy
R
5.3

Całkę podwójną f(x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest
D
krzywymi o równaniach:
a) x2 + y = 2, y3 = x2;
b) x2 + y2 = 4, y = 2x - x2, x = 0 (x, y 0);
c) x2 - 4x + y2 + 6y - 51 = 0;
d) x2 - y2 = 1, x2 + y2 = 3 (x < 0).
5.4
W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania:
|x|
1 1 0
a) dx f(x, y) dy; b) dx f(x, y) dy;
"
-1 0 -1
- 1-x2
" "
y2
2
4 2 x 2

c) dx f(x, y) dy; d) dy f(x, y) dx;
" "
0
y2-1
4x-x2 - 2
Ä„ sin x e 1

e) dx f(x, y) dy; f) dx f(x, y) dy.
Ä„
cos x
1 ln x
2
5.5
Obliczyć podane całki iterowane:
x2 2x
1 4
"
y
a) dx dy; b) dx x2 y - x dy;
x2
x
0 1
x3
"
4-x2
2 3 y


c) dx x3 + y3 dy; d) dy y2 + 16 dx;
-2 0 0 0
Ä„ Ä„ 2 1
sin y 3
e*) dx dy; f*) dy yex dx.
y
y
x
0 0
2
Narysować obszary całkowania.
Lista dziesiÄ…ta
5.6
Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
12

a) min(x, y) dxdy, gdzie D = [0, 1]×[0, 2];
D

b) E(x + y) dxdy, gdzie D = [0, 2]×[0, 2];
D


c) |x - y| dxdy, gdzie D = (x, y) " R2 : x 0, 0 y 3 - 2x ;
D



d) sgn x2 - y2 + 2 dxdy, gdzie D = (x, y) " R2 : x2 + y2 4 .
D
Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei E(u) oznacza część
całkowitą liczby u.
5.7
Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:

Ä„
a) f(x, y) = sin x cos y, gdzie D = [0, Ä„] × 0, ;
2
b) f(x, y) = x + y, gdzie D : 0 y Ä„, 0 x sin y.
5.8
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych ob-
szarach:

a) xy dxdy, gdzie D : x 0, 1 x2 + y2 2;
D

2
b) y2ex +y2 dxdy, gdzie D : x 0, y 0, x2 + y2 1;
D


c) x2 + y2 dxdy, gdzie D : y 0, y x2 + y2 x;
D


2
d*) x x2 + y2 dxdy, gdzie D : x 0, x2 + y2 4 x2 - y2 .
D
5.9
Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
a) y2 = 4x, x + y = 3, y = 0 (y 0);
b) x2 + y2 - 2y = 0, x2 + y2 - 4y = 0;
c) x + y = 4, x + y = 8, x - 3y = 0, x - 3y = 5;
"
d) x2 + y2 = 2y, y = 3|x|.
5.10
Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami:
a) x2 + y2 - 2y = 0, z = x2 + y2, z = 0; b) x2 + y2 + z2 - 2z = 0;
c*) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1, z = xy, z = 0; d*) 2z = x2 + y2, y + z = 4.
13
Lista jedenasta
5.11
Obliczyć pola podanych płatów:
a) z = x2 + y2, x2 + y2 1;
b) x2 + y2 + z2 = R2, x2 + y2 - Rx 0, z 0;

c) z = x2 + y2, 1 z 2;
d*)Satelita telekomunikacyjny jest umieszczony na orbicie geostacjonarnej położonej w odle-
głości h = 400 km od powierzchni Ziemi. Obliczyć pole obszaru objętego zasięgiem tego
satelity. Przyjąć, że promień Ziemi jest równy R = 6400 km.
5.12
Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:

a) D = (x, y) " R2 : 0 x Ä„, 0 y sin x , gdzie Ã(x, y) = x;

b) D = (x, y) " R2 : 1 x2 + y2 4, y 0 , gdzie Ã(x, y) = |x|.
5.13
Znalez
ć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
a) D  trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;

b) D = (x, y) " R2 : 0 x Ä„, 0 y sin2 x ;

c) D = (x, y) " R2 : x2 y 1 ;

d) D = (x, y) " R2 : 0 x 1, 0 y ex .
5.14
Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
a) D  kwadrat jednorodny o boku a,
moment obliczyć wzglÄ™dem przekÄ…tnej, przyjąć Ã(x, y) = 1;

b) D = (x, y) " R2 : x2 + y2 R2, y 0 ,

moment obliczyć wzglÄ™dem osi Ox, przyjąć Ã(x, y) = x2 + y2;

c) D = (x, y) " R2 : 0 y 1 - x2 ,
moment obliczyć wzglÄ™dem osi symetrii obszaru, przyjąć Ã(x, y) = x2;

d) D = (x, y) " R2 : 0 x Ä„, 0 y sin x ,
moment obliczyć wzglÄ™dem osi Ox, przyjąć Ã(x, y) = x.
5.15
Obliczyć parcie wody na płytę zasuwy turbiny elektrowni wodnej. Zasuwa jest ustawiona
pionowo i ma kształt kwadratu o boku a = 1 m. Górna krawędz
tej zasuwy jest pozioma i
znajduje siÄ™ H = 5 m pod poziomem wody.
5.16
Obliczyć siłę, z jaką masa punktowa m = 100 kg jest przyciągana przez jednorodne koło o
masie M = 100000 kg i promieniu R = 4 m. Masa punktowa jest położona na wysokości
H = 3 m nad środkiem koła.
14
Lista dwunasta
6.1
Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:

x dxdydz
a) , gdzie U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];
yz
U

b) (x + y + z) dxdydz, gdzie U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];
U

c) sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [0, Ä„] × [0, Ä„] × [0, Ä„];
U

d) (x + y)ex+z dxdydz, gdzie U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
U
6.2
Podane całki potrójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych:

Ä„ Ä„
a) sin(x + y + z) dxdydz, gdzie U = 0, × 0, × [0, Ä„];
2 2
U

b) z ln (xyyx) dxdydz, gdzie U = [1, e] × [1, e] × [0, 1].
U
6.3

Całkę potrójną f(x, y, z) dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar U jest ogra-
U
niczony powierzchniami o podanych równaniach:

a) z = 2 x2 + y2, z = 6;
b) x2 + y2 + z2 = 25, z = 4, (z 4) ;

c) z = x2 + y2, z = 20 - x2 - y2.
6.4
W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania (rozważyć wszystkie przy-
padki):
3
y
1 2-2x 3-3x- 2

a) dx dy f(x, y, z) dz;
0 0 0
"
4-x2-y2
2 0
b) dx dy f(x, y, z) dz;
" "
-2
- 4-x2 - 4-x2-y2
" "
z
z
3 -x2
c) dz dx f(x, y, z) dy;
" "
0
- z - z-x2
"
1-x2
1 1
d) dx dy f(x, y, z) dz..
0 0
x2+y2
15
Lista trzynasta
6.5
Obliczyć całki potrójne z danych funkcji po wskazanych obszarach:
a) f(x, y, z) = ex + y + z, gdzie U : x 0, -x y 1, 0 z -x;
1
b) f(x, y, z) = , gdzie U : x 0, y 0, 0 z 1-x-y;
(3x+2y+z+1)4
c) f(x, y, z) = x2 + y2, gdzie U : x2 + y2 4, 1 - x z 2 - x;
d) f(x, y, z) = x2y2, gdzie U : 0 x y z 1.
6.6
Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:

2
a) x2 + y2 + z2 dxdydz, gdzie U : x2 + y2 4, 0 z 1;
U


b) xyz dxdydz, gdzie U : x2 + y2 z 1 - x2 - y2;
U


c) x2 + y2 dxdydz, gdzie U : x2 + y2 + z2 R2, x2 + y2 + z2 2Rz;
U

d) (x + y + z) dxdydz, gdzie U : x2 + y2 1, 0 z 2 - x - y.
U
6.7
Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:

dxdydz
a) , gdzie U : 4 x2 + y2 + z2 9;
x2 + y2 + z2
U



b) x2 + y2 dxdydz, gdzie U : x2 + y2 z 1 - x2 - y2;
U

c) z2 dxdydz, gdzie U : x2 + y2 + (z - R)2 R2 (R > 0);
U

d) x2 dxdydz, gdzie U : x2 + y2 + z2 4x.
U
6.8
Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
a) x2 + y2 = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;
b) x = -1, x = 2, z = 4 - y2, z = 2 + y2;
1
c) z = , z = 0, x2 + y2 = 1;
1 + x2 + y2
d) x2 + y2 + z2 = 2, y = 1 (y 1).
16
Lista czternasta
6.9
Obliczyć masy podanych obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], gdzie Å‚(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
b) U : x2 + y2 + z2 9, gdzie Å‚(x, y, z) = x2 + y2 + z2.
6.10
Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
a) U : 0 x 1, 0 y 1 - x, 0 z 1 - x;
b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;

c) U : x2 + y2 z 2 - x2 - y2.
6.11
Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych
o masie M :
a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy;
d*)część kuli x2 + y2 + z2 R2 położona w pierwszym oktancie, względem osi symetrii tej
części.
6.12
Obliczyć siłę, z jaką jednorodna kula o promieniu R i masie M przyciąga punkt materialny
o masie m położony w odległości d od środka kuli, d > R.
6.13
Obliczyć natężenie pola elektrycznego, jakie wytwarza jednorodnie naładowany stożek o pro-
mieniu podstawy R, wysokości H i ładunku całkowitym Q, w swoim wierzchołku.
17