1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Ciągłość funkcji wielu zmiennych
Definicja Niech P0 " R2 ( R3 ) oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu
punktu P0 . Funkcja f jest ciągła w punkcie P0 , wtedy i tylko wtedy, gdy
lim f( P ) = f( P0 ).
P P0
Definicja Niech D ‚" R2 ( R3 ) bÄ™dzie zbiorem otwartym. Funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a na zbiorze D ,
jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Twierdzenie
" Suma, różnica, iloczyn, iloraz (o ile jest dobrze określony) funkcji ciągłych jest funkcja ciągłą.
" Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
Przykład Wykazać, że funkcja f jest ciągła w całej swojej dziedzinie, jeżeli:
Å„Å‚
x2 y
ôÅ‚
(x, y) = 0

òÅ‚
x2 + y2
f(x, y) =
ôÅ‚
ół
0 (x, y) = 0.
Rozwiązanie Funkcja f jest określona w R2 i ciągła, jako funkcja elementarna, w zbiorze
R2 - { (0, 0) } . Jedynym punktem budzącym watpliwość jest punkt (0, 0) .
Niech { Pn } będzie ciągiem punktów o współrzędnych (xn, yn) = (0, 0) zbieżnym do punktu

(0, 0) , a więc xn 0 i yn 0 . Wówczas
x2 yn xn yn
n
f(xn, yn) = = xn · 0 = f(0, 0),
2 2
x2 + yn x2 + yn
n n


xn yn 1 xn yn
gdyż a tym samym ciąg jest ograniczony.
2 2
x2 + yn 2 x2 + yn
n n
Oznacza to, że funkcja f jest ciągła w punkcie (0, 0) , a więc ciągła w całej płaszczyz
nie R2 .
Twierdzenie (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f jest określona i ciągła na zbiorze D domkniętym i ograniczonym, to jest ona
ograniczona oraz w zbiorze D istnieją punkty Pm i PM takie, że:
f(Pm) = min f(P )
P "D
i
f(PM) = max f(P ).
P "D