1
6. Obliczanie parametrów przetworników energii o ruchu
obrotowym
Z rozważań przestawionych w poprzednich rozdziałach wynika, że wszystkie właściwości
przetworników energii zależą od indukcyjności własnych i wzajemnych jego cewek. Dlatego
obliczanie parametrów przetworników sprowadza się właściwie do określania tych indukcyjności.
Definicje indukcyjności własnych i wzajemnych cewek sprzężonych magnetycznie wynikają z
rozważań przedstawionych w Dodatku 1 oraz w Rozdziale 2 i zostaną one obecnie przypomniane.
Indukcyjność wzajemna dwóch cewek ‘n’ oraz ‘k’ jest definiowana, jako stosunek strumienia
skojarzonego cewki ‘n’, wytworzonego przez prąd cewki ‘k’, do wartości prądu cewki ‘k’, przy
założeniu, że prądy nie płyną we wszystkich pozostałych cewkach
k
n
n,k
i
ψ
=
L
k
n
≠
(6.1)
Indukcyjności własne określa stosunek strumienia skojarzonego danej cewki wytworzonego przez jej
własny prąd, do tego prądu, zakładając, że nie płyną prądy we wszystkich pozostałych cewkach
n
n
n,n
i
ψ
=
L
(6.2)
Takie definicje umożliwiają określanie indukcyjności jedynie w przypadkach, gdy wiadomo, że
stosunek odpowiednich strumieni skojarzonych do prądów jest stały, czyli dla cewek umieszczonych
w obwodzie magnetycznym o liniowej charakterystyce. Ten obwód magnetyczny nie może zawierać
także materiałów przewodzących prąd, gdyż powyższe definicje to wykluczają.
Obliczanie indukcyjności wymaga, więc określenia strumienia skojarzonego z dana cewką, który
jest sumą strumieni skojarzonych z poszczególnymi zwojami cewki. Strumień skojarzony z danym
zwojem jest określony przez całkę powierzchniową indukcji magnetycznej, obliczoną dla powierzchni
utworzonej przez dany zwój. Strumień skojarzony jest, więc wielkością całkową i wymaga znajomości
rozkładu indukcji magnetycznej w każdym punkcie powierzchni ograniczonej tym zwojem. Ogólnie
jest to zadanie dość złożone.
W Dodatku przedstawiono podstawowe pojęcia i sposób opisu prostych obwodów magnetycznych,
w których drogi strumienia magnetycznego są jednoznacznie wyznaczone przez magnetowód. Na
prostych przykładach pokazano jak obliczać indukcyjności własne i wzajemne cewek w takich
obwodach magnetycznych. Obwód magnetyczny w przetwornikach o ruchu obrotowym ma nieco inną
strukturę i w celu określenia indukcyjności nie można posługiwać się tak prostym rozumowaniem.
Przede wszystkim, dlatego że cewki w przetworniku nie tworzą cewek skupionych, lecz są rozłożone
na obwodzie. Obliczanie indukcyjności cewek przetwornika jest w ogólnym przypadku bardzo
złożone.
Poniżej przedstawiono uproszczony sposób obliczania indukcyjności własnych i wzajemnych
cewek w cylindrycznym obwodzie magnetycznym, charakterystycznym dla przetworników o ruchu
obrotowym, który prowadzi do poprawnego określania jakościowych cech indukcyjności i jest
wystarczający dla śledzenia procesów przetwarzania energii. W tej metodzie przyjmuje się, że pole
magnetyczne koncentruje się jedynie w szczelinie powietrznej rozdzielającej części przetwornika
nieruchomą
oraz
obrotową.
Odpowiada
to
przyjęciu,
że
przewodność
magnetyczna
ferromagnetycznych części obwodu jest bardzo duża (
∞
≈
Fe
µ
). W takim obwodzie oblicza się
składową promieniową natężenia pola magnetycznego oraz indukcji magnetycznej, którą
wykorzystuje się do obliczania strumieni skojarzonych dla cewek, a w konsekwencji indukcyjności
własnych i wzajemnych.
6.1. Sformalizowany opis cewek przetworników
Na potrzeby uproszczonej metody analizy pola w szczelinie określa się reprezentacje cewek, które
zwykle są umieszczane w żłobkach znajdujących się na wewnętrznej powierzchni rdzenia
zewnętrznego oraz zewnętrznej powierzchni rdzenia wewnętrznego. Dla każdej z cewek tworzy się
funkcję okładu prądu
)
,
( t
x
a
, która określa rozkład na obwodzie przetwornika przewodów tworzących
cewkę oraz zmienność prądu cewki w czasie. Zasadę tworzenia funkcji okładu prądu zilustrowano na
Rys. 6.1 dla dwóch elementarnych cewek położonych na nieruchomej oraz obrotowej rdzenia
magnetycznego.
Rys. 6.1. Ilustracja tworzenia impulsowych funkcji okładu prądu cewek
Cewka ‘1’, na części nieruchomej, ma
1
w zwojów umieszczonych w punkach
p
α (początek cewki)
oraz
k
α (koniec cewki), liczonych względem punktu odniesienia
x
0 dla części nieruchomej. Cewka
‘2’, na części obrotowej, ma
2
w zwojów umieszczonych w punkach
p
β (początek cewki) oraz
k
β
(koniec cewki), liczonych względem punktu odniesienia
y
0 dla części ruchomej. Punkty odniesienia
na częściach nieruchomej i obrotowej są przesunięte o kąt obrotu
ϕ
. W najprostszej postaci funkcje
okładu prądu mają postać impulsów dodatnich, położonych w punktach położenia początków cewek
(
p
α ,
p
β ) oraz impulsów ujemnych, położonych w punktach położenia końców cewek (
k
α ,
k
β ). Nieco
dokładniejszą reprezentację cewki umieszczonej w żłóbku otrzymuje się przyjmując funkcję okładu
prądu cewki w postaci funkcji przedziałami ciągłej, co ilustruje Rys. 6.2. Funkcja okładu jest wówczas
stała w przedziale odpowiadającym szerokości otwarcia żłobka, a jej wartość otrzymuje się dzieląc
iloczyn liczby zwojów oraz prądu przez szerokość otwarcia żłobka.
p
i w
p
a(x)
x
i w/
w
d
)
(
2
/
2
/
p
p
i
x
x
a
=
∫
γ
+
α
γ
−
α
Rys. 6.2. Ilustracja tworzenia przedziałami ciągłej funkcji okładu prądu cewek
3
Funkcję okładu prądu tworzy się dla każdej niezależnej cewki, tj. każdego szeregowego połączenia
zwojów, przez które płynie ten sam prąd. Funkcje okładu prądu są zależne od dwóch zmiennych:
zmiennej przestrzennej ‘x’ lub ‘y’, czyli położenia kątowego na obwodzie (liczonych względem
przyjętych punktów odniesienia) oraz czasu ‘t’, z racji możliwych zmian wartości prądu w czasie.
Funkcję okładu prądu można przedstawić w postaci iloczynu prądu cewki oraz funkcji rozkładu jej
zwojów na obwodzie szczeliny powietrznej
)
(x
w
)
(
)
(
)
,
(
x
w
t
i
t
x
a
⋅
=
(6.3)
W praktyce inżynierskiej używane jest pojęcie przepływu (magnetycznego) cewki. Do dalszych analiz
wprowadzona zostanie funkcja przepływu cewek zastępującą funkcję okładu prądu. Jest ona
definiowana jako całka nieoznaczona z funkcji okładu prądu
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
x
z
t
i
dx
x
w
t
i
dx
t
x
a
t
x
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
Θ
∫
∫
(6.4)
spełniająca warunek
0
)
,
(
2π
x
=
⋅
Θ
∫
+
x
dx
t
x
czyli
0
)
(
2π
x
=
⋅
∫
+
x
dx
x
w
Zatem funkcja
x
z(
) jest dobrana tak, aby nie zawierała składowej stałej. Na Rys. 6.3 przedstawiono
funkcję przepływu cewki umieszczonej na części nieruchomej przetwornika przy reprezentacji okładu
funkcją impulsową (a) oraz funkcją przedziałami ciągłą (b)
p
k
i w
x
a
p
k
i w
x
b
Rys. 6.3. Funkcja przepływu cewki: a - funkcja okładu prądu impulsowa,
b - funkcja okładu prądu przedziałami ciągła
W celu zilustrowania zasad tworzenia funkcji okładu i przepływu rozpatrzono najprostszy
przypadek cewki o liczbie zwojów ‘w’ położonej średnicowo na nieruchomej części przetwornika,
umieszczonej w obwodzie magnetycznym o równomiernej szczelinie powietrznej (z Rys. 2.2). Kąt
położenia początku tej cewki wynosi
2
π
α
p
−
=
oraz jej końca
2
π
α
k
=
, obydwa liczone względem
osi symetrii cewki. Funkcję okładu prądu oraz przepływu takiej cewki, przez którą przepływa prąd
)
(t
i
, przedstawiono na Rys. 6.4.
)
,
( t
x
a
)
,
(
t
x
Θ
2
/
wi
2
/
wi
−
Rys. 6.4. Okład prądu oraz przepływ cewki średnicowej umieszczonej
na nieruchomej części przetwornika
Opis funkcji przepływu, jako funkcji przedziałami stałej jest niezbyt praktyczny. Do jej opisu używa
się szeregu Fouriera, gdyż funkcja opisująca przepływu jest okresowo zmienne wzdłuż obwodu
)
,
π
2
(
)
,
(
t
x
t
x
+
Θ
=
Θ
(6.5)
Szereg Fouriera funkcji przepływu przedstawionej odpowiednio na Rys.6.4 ma postać
+
−
+
−
⋅
⋅
π
⋅
=
Θ
L
x
x
x
x
t
i
t
x
7
cos
7
1
5
cos
5
1
3
cos
3
1
cos
2
w
4
)
(
)
,
(
Kolejne wyrazy tych szeregów są nazywane harmonicznymi przepływu. Z powyższych wzorów
wynika, że cewka średnicowa wytwarza przepływ o harmonicznych nieparzystych. Funkcja przepływu
może być przedstawiona w postaci iloczynu prądu cewki oraz funkcji opisującej budowę cewki, która
określa przyrost liczby zwojów cewki wzdłuż obwodu
)
(
)
(
)
,
(
x
z
t
i
t
x
⋅
=
Θ
Jeżeli boki cewki umieścić w pozycjach
2
ε
α
p
−
=
oraz
2
ε
α
k
=
to funkcje jej okładu prądu,
przepływu oraz rozkładu indukcji przyjmą postaci przedstawione na Rys. 6.5.
)
,
(
t
x
Θ
)
,
( t
x
a
Rys. 6.5. Okład prądu oraz przepływ cewki cięciwowej
Cewka taka nosi nazwę cięciwowej. Jej przepływ można zapisać w postaci szeregu Fouriera
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
π
⋅
=
Θ
L
x
x
t
i
t
x
2
cos
2
ε
2
sin
2
1
cos
2
ε
sin
2
w
4
)
(
)
,
(
lub w postaci iloczynu prądu oraz funkcji przyrostu rozkładu zwojów
)
(
)
(
)
,
(
c
x
z
t
i
t
x
⋅
=
Θ
5
Cewka cięciwowa wytwarza, zatem przepływ zawierający wszystkie harmoniczne, zarówno
nieparzyste jak i parzyste. Nietrudno sprawdzić, że dla
π
ε
=
otrzymuje się funkcję dla cewki
średnicowej. Współczynnik określający zmianę amplitudy poszczególnych harmonicznych przepływu
dla cewki cięciwowej w stosunku do odpowiednich amplitud dla cewki średnicowej jest nazywany
współczynnikiem skrótu cewki dla danej harmonicznej i wynosi
2
ε
sin
k
,
s
n
n
=
(6.6)
Na Rys. 6.6 przedstawiono funkcje okładu prądu oraz przepływu dla cewki rozłożonej, utworzonej
z trzech elementarnych cewek średnicowych przesuniętych wzajemnie o kąt α oraz połączonych
szeregowo (z Rys. 3.2). Rozkład przepływu takiej cewki rozłożonej jest bardziej zbliżony do
sinusoidy.
)
,
( t
x
a
α α
α α
)
,
( t
x
Θ
α
α
Rys. 6.6. Okład prądu oraz przepływ cewki rozłożonej
Szereg Fouriera przepływu cewki rozłożonej zapisuje się wprowadzając współczynniki grupy
n
g,
k
dla
poszczególnych harmonicznych. W rozważanym przypadku szereg ten ma postać
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
π
⋅
=
Θ
L
x
x
x
t
i
t
x
7
cos
k
5
1
3
cos
k
3
1
cos
k
2
w
3
4
)
(
)
,
(
g,5
g,3
g,1
który, jednoznacznie określa funkcję przyrostu zwojów
)
(
)
(
)
,
(
g
x
z
t
i
t
x
⋅
=
Θ
Współczynnik grupy
n
g,
k
cewki rozłożonej określa zmiany amplitud danej harmonicznej funkcji
przepływu w stosunku do amplitudy tej harmonicznej dla cewki średnicowej o sumarycznej liczbie
zwojów. Szczegółowe obliczenia współczynników grupy dla cewki złożonej z ‘q’ jednakowych cewek
elementarnych przesuniętych o jednakowy kąt ‘ α ’ pozwalają zapisać ogólną postać wzoru
określającego współczynniki grupy dla poszczególnych harmonicznych
⋅
⋅
=
2
α
sin
q
2
α
q
sin
k
n
g,
n
n
(6.7)
W ogólnym przypadku funkcję przepływu cewki o dowolnej konfiguracji zapisuje się w postaci
szeregu Fouriera o postaci
(
)
)
(
)
(
α
cos
2
k
w
π
4
)
(
)
,
(
1
x
z
t
i
x
n
n
t
i
t
x
n
n
n
⋅
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Θ
∑
∞
=
(6.8)
Występuje w nim współczynnik uzwojenia
n
k
dla danej harmonicznej, będący iloczynem
współczynników skrótu oraz grupy
n
n
n
,
g
,
s
k
k
k
⋅
=
(6.9)
Bardzo często przepływ cewki jest aproksymowany jedną harmoniczną o największej amplitudzie
(
)
)
α
(
p
cos
p
2
k
w
π
4
)
(
)
,
(
p
p
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Θ
x
t
i
t
x
(6.10)
Wówczas liczba ‘p’ określa liczbę par biegunów, która wskazuje ile razy mono-harmoniczna funkcja
przepływu powtarza się na obwodzie przetwornika.
6.2. Uproszczona analiza rozkładu pola magnetycznego w szczelinie powietrznej
przetworników
Do uproszczonej analizy rozkładu pola magnetycznego w szczelinie powietrznej wykorzystuje
całkową postać równania Maxwella
Θ
=
⋅
∫
→
→
l
dl
H
(6.11)
Rys. 6.7 przedstawia przekrój poprzeczny przetwornika o ruchu obrotowym, w tym przypadku o
obustronnie nierównomiernej szczelinie powietrznej. Przy założeniu, że przenikalności magnetyczne
rdzeni po obydwóch stronach szczeliny powietrznej są wystarczająco duże, całkowe prawo Maxwella,
dla konturu oznaczonego linią przerywaną, prowadzi do związku
dx
t
x
a
dl
H
dl
H
x
x
x
x
⋅
=
⋅
−
⋅
∫
∫
∫
→
→
→
→
0
0
)
,
(
(6.12)
Zaznaczono na nim promieniowe składowe wektorów natężenia pola magnetycznego w punktach x
0
oraz x. Po lewej stronie tej równości występują całki z natężenia pola magnetycznego na drodze przez
szczelinę powietrzną, liczone dla pozycji kątowych x
0
oraz x. Po prawej stronie występuje całka
określająca sumaryczną liczbę amperozwojów przecinających kontur całkowania zaznaczony na
Rys.6.7. Przyjmuje się, że wartości całek po lewej stronie równają się iloczynom wartości natężenia
pola w pewnym punkcie szczeliny leżącym wzdłuż promienia i długości linii sił pola magnetycznego
przechodzącej przez ten punkt. Na Rys. 6.7 zaznaczono te promieniowe składowe wektorów natężenia
pola magnetycznego w punktach x
0
oraz x odpowiednio przez
0
x
H
oraz
x
H
. Dla punktu ‘x’ długość
linii sił pola oznaczono przez ‘
x
δ
’, a dla punktu ‘
0
x
’ przez ‘
0
δ
’, co pozwala zapisać
x
x
x
H
dl
H
δ
⋅
=
⋅
∫
→
→
0
0
0
δ
⋅
=
⋅
∫
→
→
x
x
H
dl
H
Po uwzględnieniu powyższych związków oraz wprowadzeniu do równania (6.12) funkcji przepływu z
prawa Maxwella otrzymuje się związek
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
0
0
0
t
x
t
x
x
H
x
t
x
H
Θ
−
Θ
=
δ
⋅
−
δ
⋅
(6.13)
7
x
y
x
0
0
x
0
y
r
H
x0
H
x
∞
=
Fe
µ
a
s
(x,t)
a
r
(x,t)
Rys. 6.7. Poprzeczny przekrój cylindrycznego obwodu magnetycznego przetwornika o ruchu obrotowym dla uproszczonej
analizy rozkładu pola magnetycznego w szczelinie powietrznej
w który przyjęto, że wartość natężenia pola magnetycznego oraz długość linii sił pola magnetycznego
w punkcie ‘x’ stają się funkcjami tego położenia. Wzór określający rozkład indukcji pola w szczelinie
powietrznej otrzymuje się po uwzględnieniu związku
)
,
(
µ
)
,
(
0
t
x
H
t
x
B
⋅
=
(6.14)
(dla przypomnienia
m]
sec/A
[V
10
4π
µ
7
0
⋅
⋅
⋅
=
−
) oraz warunku bezźródłowości pola magnetycznego
0
=
⋅
∫
→
→
s
ds
B
, który w tym przypadku można zapisać w postaci
0
)
,
(
r
l
µ
)
r
)
,
(
(
l
0
2π
2π
0
∫ ∫
∫
∫
+
+
→
→
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
x
x
x
x
s
dx
t
x
H
dl
dx
t
x
B
ds
B
gdzie ‘r’ jest promieniem pewnej powierzchni walcowej w szczelinie powietrznej, a ‘l’ jest długością
poosiową obwodu magnetycznego przetwornika. Ostatecznie otrzymuje się następujące wyrażenie
λ
Θ
⋅
λ
−
Θ
⋅
λ
⋅
=
∫
∫
+
+
π
2
π
2
0
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
µ
)
,
(
x
x
x
x
dx
x
dx
t
x
x
t
x
x
t
x
B
(6.15)
w którym wprowadzono funkcję permeancji szczeliny powietrznej
)
(x
λ
zdefiniowanej następująco
)
(
1
)
(
x
x
δ
=
λ
(6.16)
Funkcja permenacji szczeliny powietrznej jest określona jako odwrotność długości sił pola
magnetycznego dla dowolnego położenia kątowego ‘x’. W ogólnym przypadku funkcja permeancji
zależy nie tylko od położenia kątowego ‘x’ lecz także od kąta obrotu
ϕ
, co zostanie uwzględnione w
jej zapisie
)
,
(
ϕ
λ
x
, przyjmując, że może ona być funkcją dwóch zmiennych. Dla małych wartości
szczeliny powietrznej jest ona przyjmowana, jako odwrotność geometrycznej grubości szczeliny
powietrznej.
Przetworniki elektromechaniczne najczęściej wykorzystywane w technice mają obwód
magnetyczny posiadający specyficzne cechy symetrii, co powoduje, że funkcja permeancji szczeliny
powietrznej, rozłożona w szereg Fouriera, ma harmoniczne parzyste. Natomiast przepływy cewek
mają harmoniczne nieparzyste. Wzór określający rozkład indukcji pola w szczelinie powietrznej
redukuje się wówczas do postaci
)
,
(
)
,
(
µ
)
,
(
0
t
x
x
t
x
B
Θ
⋅
ϕ
λ
⋅
=
(6.17)
gdyż
∫
+
≡
Θ
⋅
λ
π
2
0
)
,
(
)
(
x
x
dx
t
x
x
. Indukcja pola magnetycznego w szczelinie powietrznej jest, więc
iloczynem funkcji permeancji szczeliny powietrznej oraz przepływu.
W celu zilustrowania powyższych rozważań określono rozkłady pola w szczelinie powietrznej
przez cewki i ich układ opisane w poprzednim podrozdziale 6.1. Dla najprostszego przypadku cewki
średnicowej o okładzie i przepływie z Rys. 6.5 rozkład indukcji w szczelinie określa wzór
)
,
(
δ
1
µ
)
,
(
0
t
x
t
x
B
Θ
⋅
⋅
=
gdyż funkcja permeancji
)
,
(
ϕ
λ
x
przyjmuje wartości stałe 1/δ dla dowolnego punktu obwodu ‘x’ oraz
dla dowolnego położenia części obrotowej. Z powyższego wzoru wynika, że rozkład indukcji pola
magnetycznego w szczelinie jest proporcjonalny do funkcji przepływu i jest przedziałami stały.
Rozkład indukcji pola magnetycznego przedstawiono na Rys.6.8.
)
,
( t
x
B
δ)
2
/
w
µ
(
0
⋅
−
i
δ)
2
/
w
µ
(
0
⋅
i
Rys. 6.8. Rozkład indukcji pola magnetycznego w szczelinie powietrznej w funkcji kąta położenia na obwodzie
Wartości indukcji w tych przedziałach są proporcjonalne do wartości prądu cewki i wynoszą
)
(
2
w
δ
1
µ
)
(
0
t
i
t
B
⋅
⋅
⋅
±
=
Funkcja opisująca rozkład indukcji jest zwykle przedstawiana w postaci szeregu Fouriera gdyż jest
okresowo zmienna
)
,
π
2
(
)
,
(
t
x
B
t
x
B
+
=
9
)
(
δ
µ
)
(
7
cos
7
1
5
cos
5
1
3
cos
3
1
cos
2
w
4
δ
µ
)
(
)
,
(
0
0
x
z
t
i
x
x
x
x
t
i
t
x
B
⋅
⋅
=
+
−
+
−
⋅
⋅
π
⋅
⋅
=
L
Kolejne wyrazy tych szeregów są nazywane harmonicznymi rozkładu pola magnetycznego. Z
powyższego wzoru wynika, że cewka średnicowa wytwarza w szczelinie pole o harmonicznych
nieparzystych.
Cewka cięciwowa o okładzie i przepływie z Rys.6.5 umieszczona w przetworniku o równomiernej
szczelinie powietrznej wytwarza pole o rozkładzie przedstawionym na Rys. 6.9.
(
)
w/δ
µ
0
⋅
i
)
,
( t
x
B
Rys. 6.9. Rozkład indukcji pola magnetycznego w szczelinie powietrznej od cewki cięciwowej
Rozkład pola w szczelinie powietrznej dany jest wzorem
)
(
δ
µ
)
(
)
,
(
c
0
x
z
t
i
t
x
B
⋅
⋅
=
lub w postaci szeregu Fouriera
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
π
⋅
⋅
=
L
x
x
t
i
t
x
B
2
cos
k
2
1
cos
k
2
w
4
δ
µ
)
(
)
,
(
s,2
s,1
0
Cewka cięciwowa wytwarza, zatem pole magnetyczne w szczelinie powietrznej zawierające wszystkie
harmoniczne, zarówno nieparzyste jak i parzyste.
Dla cewki rozłożonej o okładzie i przepływie przedstawionych na Rys. 6.6, umieszczonej w
przetworniku o równomiernej szczelinie powietrznej, rozkład pola przedstawiono na Rys. 6.10.
Opisuje go szereg Fouriera
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
π
⋅
⋅
=
L
x
x
x
t
i
t
x
B
7
cos
k
5
1
3
cos
k
3
1
cos
k
2
w
3
4
δ
µ
)
(
)
,
(
g,5
g,3
g,1
0
lub funkcja
)
(
δ
µ
)
(
)
,
(
g
0
x
z
t
i
t
x
B
⋅
⋅
=
α
α
)
,
( t
x
B
(
)
3w/δ
µ
0
⋅
i
Rys. 6.10. Rozkład indukcji pola magnetycznego w szczelinie powietrznej od cewki rozłożonej.
6.3. Obliczanie indukcyjności cewek przetworników
Zgodnie z definicjami podanymi na początku tego rozdziału, w celu wyznaczenia indukcyjności
własnej lub wzajemnej dla danej cewki należy obliczyć strumień skojarzony pochodzący od pola
magnetycznego wytworzonego odpowiednio przez jej własny prąd lub przez prąd cewki, z którą
wyznacza się indukcyjność wzajemną. Strumień skojarzony cewki jest sumą strumieni
poszczególnych elementarnych zwojów cewki obliczanych z całki powierzchniowej
∫
→
→
⋅
=
Φ
S
dS
B
,
która przy założeniach przyjętych w uproszczonej analizie pola, sprowadza się do całki
∫
⋅
⋅
=
Φ
k
p
α
α
)
,
(
r
l
dx
t
x
B
k
n
(6.18)
gdzie przez ‘l’ oznaczono długość magnetycznego rdzenia przetwornika, a indeksy ‘n’ oraz ‘k’
określają numery cewek, dla których oblicza się indukcyjność wzajemną (przy obliczaniu
indukcyjności własnych n=k). Strumień skojarzony cewki elementarnej o liczbie zwojów ‘w’ wyraża
się więc wzorem
∫
⋅
⋅
⋅
=
Ψ
k
p
α
α
)
,
(
r
l
w
dx
t
x
B
k
n
n
(6.19)
Obliczanie indukcyjności własnych i wzajemnych cewek przetwornika zostanie wyjaśnione na
przykładzie dwóch elementarnych cewek przetwornika z Rys. 3.2. Indukcyjność własną cewki ‘1’,
umieszczonej na nieruchomej części przetwornika, dla której początek i koniec znajdują się w
punktach
π/2
α
p
−
=
oraz
π/2
α
k
=
, określa stosunek strumienia skojarzonego do prądu
1
1
1
1
L
i
,
Ψ
=
.
Strumień skojarzony
1
Ψ
oblicza się z wzoru
∫
−
⋅
⋅
⋅
=
Ψ
2
π
2
π
)
,
(
r
l
w
1
1
1
dx
t
x
B
Rozkład indukcji pola magnetycznego w szczelinie powietrznej przedstawia Rys. 6.8, z którego
wynika, że indukcja w przedziale (
)
2
π
,
2
π
−
jest stała i wynosi
)
(
2
w
δ
1
µ
)
(
1
1
0
1
t
i
t
B
⋅
⋅
⋅
±
=
. W wyniku
całkowania otrzymuje się wartość strumienia skojarzonego
)
(
δ
l
r
2
π
µ
)
(w
)
(
Ψ
1
0
2
1
1
t
i
t
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
11
Indukcyjność własna cewki ‘1’ wynosi, więc
δ
l
r
2
π
µ
)
(w
L
0
2
1
11
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Z tego wzoru wynika, że indukcyjność cewki zależy wyłącznie od liczby zwojów w kwadracie oraz od
wymiarów geometrycznych przetwornika.
Indukcyjność własną cewki ‘2’ , umieszczonej na części obrotowej, dla której początek i koniec
znajdują się w punktach
π/2
p
−
=
β
a
π/2
k
=
β
określonych względem osi symetrii cewki,
wyznacza stosunek
2
2
2
2
L
i
,
Ψ
=
. Strumień skojarzony cewki ‘2’ należy obliczyć z całki
∫
−
⋅
⋅
⋅
=
Ψ
2
π
2
π
)
,
(
r
l
w
2
2
2
dy
t
y
B
,
gdzie
ϕ
−
=
x
y
Nietrudno dość do wniosku, że rozkład indukcji
)
,
(
2
t
y
B
względem współrzędnej ‘y’ jest analogiczny
jak rozkład
)
,
(
1
t
x
B
, co pozwala zapisać wyrażenie określające indukcyjność własną cewki ‘2’ w
postaci
δ
l
r
2
π
µ
)
(w
L
0
2
2
22
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Indukcyjność wzajemna cewek ‘1’ oraz ‘2’ wynika z definicji
1
2
1
2
2
1
2
1
L
L
i
i
,
,
Ψ
=
=
Ψ
=
. Strumień
skojarzony cewki ‘2’ pochodzący od pola wytworzonego przez cewkę ‘1’ określa całka
∫
ϕ
+
ϕ
+
−
⋅
⋅
⋅
=
Ψ
2
π
2
π
)
,
(
r
l
w
1
2
2
dx
t
x
B
Ponieważ funkcja
)
,
(
1
t
x
B
(z Rys.6.8) jest przedziałami stała, więc w wyniku całkowania otrzymuje
się przedziałami liniową funkcję kąta
ϕ
. W konsekwencji indukcyjność wzajemna jest także
przedziałami liniową funkcją kata
ϕ
, przedstawioną na Rys. 6.11.
)
(
2
,
1
ϕ
L
max
L
−
max
L
Rys. 6.11. Zmienność indukcyjności wzajemnej w funkcji kąta obrotu
ϕ
Maksymalna wartość indukcyjności wzajemnej
)
(
2
1
ϕ
,
L
wynosi
δ
l
r
2
π
µ
w
w
L
0
1
2
max
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Należy zauważyć, że
2
max
22
11
)
L
(
L
L
=
⋅
. Oznacza to, że cewki ‘1’ oraz ‘2’ są idealnie sprzężone dla
kąta
0
=
ϕ
. Wynika to z założeń upraszczających przyjętych przy wyznaczaniu rozkładu pola w
obwodzie magnetycznym przetwornika, gdyż w realnym przetworniku sprzężenia magnetyczne cewek
będę zawsze niecałkowite, tj.
2
max
22
11
)
L
(
L
L
>
⋅
.
Gdyby przepływy cewek ‘1’ oraz ‘2’ aproksymować podstawową harmoniczną, tj. funkcjami
x
t
i
t
x
cos
2
w
π
4
)
(
)
,
(
1
1
1
⋅
⋅
⋅
=
Θ
y
t
i
t
x
cos
2
w
π
4
)
(
)
,
(
2
2
2
⋅
⋅
⋅
=
Θ
gdzie
ϕ
−
=
x
y
, ich indukcyjności własne oraz wzajemną wynoszą:
( )
δ
2
1
11
Λ
w
L
⋅
=
,
( )
δ
2
2
22
Λ
w
L
⋅
=
,
ϕ
⋅
⋅
⋅
=
cos
Λ
w
w
L
δ
2
1
12
gdzie
δ
l
r
µ
π
4
Λ
0
δ
⋅
⋅
⋅
=
.
Należy zauważyć, że wartości indukcyjności zmalały gdyż nie uwzględniono tzw. wyższych
harmonicznych rozkładu pola w szczelinie.
6.4. Użyteczne zależności określające indukcyjności uzwojeń przetworników
Problem obliczania indukcyjności uzwojeń przetworników energii staje się bardziej złożony, gdy
należy uwzględniać rzeczywiste układy uzwojeń oraz nie pomijać wpływu ferromagnetycznych
magnetowodów szczególnie, gdy chce się uwzględniać ich nieliniowy charakter. W tym rozdziale
zebrano podstawowe zależności określające indukcyjności własne i wzajemne uzwojeń przetworników
przy założeniach, że uzwojenia są zaprojektowane tak, aby dominowała podstawowa harmoniczna
przepływu dla każdego z uzwojeń i pomija się wpływ magnetowodów. Podano zależności dla dwóch
najważniejszych typów obwodu magnetycznego: ze szczeliną równomierną oraz z wydatno-
biegunowym wirnikiem. Takie obwody magnetyczne występują w maszyn elektrycznych prądu
przemiennego
asynchronicznych
oraz
synchronicznych,
które
obecnie
dominują
rynek
elektromechanicznych przetworników energii. W tych zależnościach występują podstawowe
geometryczne wymiary obwodu magnetycznego a różnorodność budowy uzwojeń jest reprezentowana
przez powszechnie akceptowane współczynniki uzwojeń.
Indukcyjności uzwojeń umieszczonych w obwodzie magnetycznym
o równomiernej szczelinie powietrznej
Obliczenia można ograniczyć do dwóch uzwojeń ‘n’ oraz ‘k’ o mono-harmonicznych przepływach
powtarzalnych p-krotnie na obwodzie
(
)
)
α
(
p
cos
p
2
k
w
π
4
)
(
)
,
(
p
,
n
n
n
n
n
x
t
i
t
x
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Θ
(6.20a)
(
)
)
α
(
p
cos
p
2
k
w
π
4
)
(
)
,
(
p
,
k
k
k
k
k
x
t
i
t
x
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Θ
(6.20b)
13
W przypadku, gdy te uzwojenia są umieszczone w obwodzie magnetycznym przetwornika o
równomiernej szczelinie powietrznej opisywanej przez funkcję permenacji szczeliny powietrznej
const
x
=
=
=
λ
δ
1
λ
)
(
0
wytwarzają w szczelinie powietrznej pola o rozkładzie indukcji
(
)
)
α
(
p
cos
p
2
k
w
π
4
1
µ
)
(
)
,
(
p
,
0
n
n
n
n
n
x
t
i
t
x
B
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
δ
⋅
⋅
=
(6.21a)
(
)
)
α
(
p
cos
p
2
k
w
π
4
1
µ
)
(
)
,
(
p
,
0
k
k
k
k
k
x
t
i
t
x
B
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
δ
⋅
⋅
=
(6.21b)
Indukcyjność wzajemną takiej pary uzwojeń określa zależność
(
)
)
α
(α
p
cos
Λ
p
k
w
p
k
w
L
0
p
,
p
,
k
n
k
k
n
n
nk
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
(6.22)
Indukcyjności własne otrzymuje się podstawiając
n
k
=
0
2
p
,
Λ
p
k
w
L
⋅
⋅
=
n
n
nn
gdzie
δ
l
r
µ
π
4
Λ
0
0
⋅
⋅
⋅
=
(6.23)
W tych zależnościach kąty
n
α oraz
k
α określają położenia kątowe osi uzwojeń, tj. położenia
maksimów przepływu danego uzwojenia względem przyjętej dowolnie nieruchomej osi odniesienia
(na stojanie). Dla uzwojenia położonego na obrotowej części przetwornika (na wirniku) kąt położenia
jego osi należy określić jako
β
α
+
ϕ
=
, gdzie β jest kątem położenia osi cewki liczonym względem
osi referencyjnej na wirniku,
ϕ
jest kątem obrotu wirnika względem stojana.
Indukcyjności uzwojeń umieszczonych w obwodzie magnetycznym
o wydatno-biegunowym wirniku
Poniżej zostaną podane zależności określające indukcyjności własne oraz indukcyjność wzajemną
pary uzwojeń ‘n’ oraz ‘k’ opisanej powyżej zależnościami (6.21) o mono-harmonicznych
przepływach, lecz umieszczonych w obwodzie magnetycznym o wydatno-biegunowej części
obrotowej. Jeżeli liczba wydatnych biegunów wynosi ‘
p
2
⋅
’, to funkcja permeancji szczeliny
powietrznej, we wzorze określającym rozkład indukcji pola magnetycznego w szczelinie powietrznej,
może być aproksymowana funkcją
(
)
)
(
p
2
cos
λ
λ
)
(
2
0
ϕ
−
⋅
⋅
⋅
+
≈
ϕ
−
λ
x
x
(6.24)
gdzie
+
⋅
≈
max
min
0
δ
1
δ
1
2
1
λ
−
⋅
≈
max
min
2
δ
1
δ
1
2
1
λ
Pola magnetycznego w szczelinie powietrznej wytwarzane przez odpowiednie uzwojenie są
opisywane zależnością
(
)
(
)
(
)
)
α
(
p
cos
)
(
p
2
cos
λ
λ
p
2
k
w
π
4
µ
)
(
)
,
(
2
0
p
,
0
n
n
n
n
n
x
x
t
i
t
x
B
−
⋅
⋅
ϕ
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Uporządkowanie tej zależności prowadzi do wniosku, że rozkład pola będzie zawierał oprócz
harmonicznej o numerze ‘p’ także harmoniczną o numerze ‘3p’
(
)
(
+
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
)
α
(
p
cos
λ
p
2
k
w
π
4
µ
)
(
)
,
(
0
p
,
0
n
n
n
n
n
x
t
i
t
x
B
+
ϕ
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
+
)
p
2
)
α
(
p
cos(
λ
2
2
1
n
x
)
)
p
2
α
p
p
3
cos(
λ
2
2
1
ϕ
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
n
x
(6.25)
Harmoniczne o numerze ‘3p’ mogą zostać pominięte, gdyż dla cewek wytwarzających wyłącznie
przepływ ‘p’-tej harmonicznej strumień od harmonicznej ‘3p’ zeruje się przy całkowaniu.
Indukcyjność wzajemna takiej pary cewek jest określona wzorem
⋅
⋅
⋅
⋅
=
ϕ
p
k
w
p
k
w
)
(
L
p
,
p
,
k
k
n
n
nk
(
)
(
)
(
)
ϕ
−
+
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
2
α
α
p
cos
Λ
2
1
)
α
(α
p
cos
Λ
2p
0
k
n
k
n
(6.26)
w którym oznaczono
0
0
0
δ
l
r
µ
π
4
Λ
⋅
⋅
⋅
=
oraz
2p
0
2p
δ
l
r
µ
π
4
Λ
⋅
⋅
⋅
=
, gdzie
0
0
λ
/
1
δ
=
,
2
2p
1/λ
δ
=
Indukcyjności własne otrzymuje się podstawiając
n
k
=
(
)
(
)
ϕ
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
ϕ
n
n
n
nn
α
p
2
cos
Λ
2
1
Λ
p
k
w
)
(
L
2p
0
2
p
,
(6.27)
Jeżeli cewka umieszczona jest na części obrotowej wówczas kąt położenia osi tej cewki wynosi
β
α
+
ϕ
=
, gdzie β jest kątem położenia osi cewki liczonym dla wirnika, a
ϕ
jest kątem obrotu.
Indukcyjności uzwojeń umieszczonych w obwodzie magnetycznym
o wydatno-biegunowym stojanie
W celu określenia zależności indukcyjności własnych oraz indukcyjności wzajemnych pary uzwojeń
‘n’ oraz ‘k’ umieszczonych w obwodzie magnetycznym o wydatno-biegunowej części stałej, założono
jak poprzednio ich mono-harmoniczny przepływach. Jeżeli liczba wydatnych biegunów stojana
wynosi ‘
p
2
⋅
’, to funkcja permeancji szczeliny powietrznej, może być aproksymowana funkcją
(
)
x
x
⋅
⋅
⋅
+
≈
λ
p
2
cos
λ
λ
)
(
2
0
(6.28)
Indukcyjność wzajemna takiej pary cewek jest określona wzorem
⋅
⋅
⋅
⋅
=
ϕ
p
k
w
p
k
w
)
(
L
p
,
p
,
k
k
n
n
nk
(
)
(
)
(
)
+
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
k
n
k
n
α
α
p
cos
Λ
2
1
)
α
(α
p
cos
Λ
2p
0
(6.29)
15
Indukcyjności własne otrzymuje się podstawiając
n
k
=
(
)
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
ϕ
n
n
n
nn
α
p
2
cos
Λ
2
1
Λ
p
k
w
)
(
L
2p
0
2
p
,
(6.30)
Powyższe zależności są bardzo użyteczne przy określaniu właściwości najważniejszych typów
maszyn elektrycznych. Pomimo, że zostały one otrzymane przy istotnych założeniach
upraszczających, po wprowadzeniu współczynników korekcyjnych są bazą dla analiz rzeczywistych
konstrukcji.
Aby pokazać jak stosować powyższe wzory, rozpatrzono parę cewek umieszczonych na części
stałej przetwornika, których osie magnetyczne są prostopadłe (jak na Rys. 5.4), lecz część obrotowa
jest wydatno-biegunowa. Przy założeniu, że cewki wytwarzają przepływy mono-harmoniczne o
1
p
=
,
a ich osie magnetyczne mają położenia kątowe
0
α
1
=
,
π/2
α
2
=
, indukcyjności są określone
wzorami:
( )
ϕ
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
ϕ
2
cos
Λ
2
1
Λ
)
k
w
(
)
(
L
2
0
2
,1
1
1
11
( )
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
ϕ
2
cos
Λ
2
1
Λ
)
k
w
(
)
(
L
2
0
2
,1
2
2
22
( )
ϕ
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
ϕ
=
ϕ
2
sin
Λ
2
1
)
k
w
(
)
k
w
(
)
(
L
)
(
L
2
,1
2
2
,1
1
1
21
12
W tym przypadku wszystkie indukcyjności, także indukcyjności własne są funkcjami kąt położenia.
Należy zauważyć, że pomimo prostopadłego usytuowania cewek są one sprzężone magnetycznie,
gdyż indukcyjność wzajemna jest różna od zera, a sprzężenie to osiąga wartość maksymalną dla kąta
π/4
=
ϕ
.
Wszystkie wyprowadzone w tym rozdziale zależności określające indukcyjności uwzględniają
jedynie strumień przechodzący przez szczelinę powietrzną, który jest nazywany strumieniem
głównym. W rzeczywistych przetwornikach przewody cewek są umieszczone w żłobkach i część
strumienia wytworzonego przez cewkę nie przechodzi przez szczelinę. Ilustruje to schematycznie
Rys.6.12, na którym zaznaczono strumień zamykający się wokół żłobka.
Rys. 6.12. Przekrój żłobka ilustrujący drogę strumienia rozproszenia żłobkowego
Ta część strumienia jest nazywana strumieniem rozproszenia i skutkuje ona pojawieniem się
dodatkowego składnika indukcyjności własnych, nazywanego indukcyjnością rozproszenia
żłobkowego
ż
σ,
L
. Strumień rozproszenia pojawia się także w częściach cewek na zewnątrz obwodu
magnetycznego, tzw. połączeniach czołowych, łączących fragmenty cewek umieszczone w żłobkach.
Jest on nazywany strumieniem rozproszenia połączeń czołowych. Reprezentuje go indukcyjność
rozproszenia połączeń czołowych
cz
σ,
L
. Obydwie te indukcyjności zwiększają wartości indukcyjności
własnych wynikające ze strumienia głównego od kilku do kilkunastu procent.
)
(
L
L
L
)
(
L
ż
σ,
ż
σ,
ϕ
+
+
=
ϕ
nn
n
Wyznaczanie indukcyjności rozproszeń nie będzie tu prezentowane, gdyż te części indukcyjności nie
wpływają bezpośrednio na proces przetwarzania energii gdyż są stałe, niezależne od kąta obrotu. Są
one jednak bardzo ważne i czasami decydują o parametrach technicznych przetwornika. Wzory
określające ich wartości można znaleźć w literaturze dotyczącej konstrukcji maszyn elektrycznych.
Przykłady
P. 6.1/. Dla cylindrycznego przetwornika z poniższego rysunku zapisać formułę określającą
indukcyjność uzwojenia powstałego z szeregowego połączenia dwóch cewek o jednakowych
ilościach zwojów z.
α
3
/
π
=
α
Uzwojenie dla tego przykładu można sprowadzić poprzez współczynnik uzwojenia do zastępczej
jednej cewki o ilości zwojów
2z
w
1
=
ustawionej pod kątem
2
/
1
π
=
α
w stosunku do układu
odniesienia.
1
α
1'
x
0
Przy wyznaczeniu indukcyjności własnej tego uzwojenia posłużymy się formułą (6.21) dla
indukcyjności własnych.
0
2
p
,
1
1
1
,
1
Λ
p
k
w
L
⋅
⋅
=
gdzie
δ
l
r
µ
π
4
Λ
0
0
⋅
⋅
⋅
=
17
Dla tego przypadku liczba par biegunów p=1 a liczba szeregowych cewek, z którego zbudowane jest
uzwojenie oznaczone indeksem „1” wynosi q=2. Współczynnik uzwojenia dla podstawowej
harmonicznej jest równy współczynnikowi grupy i wynosi
2
/
3
3
2
sin
2
3
2
2
sin
2
α
sin
q
2
α
q
sin
k
k
g,1
,1
1
=
⋅
π
⋅
⋅
π
⋅
=
⋅
⋅
=
=
Indukcyjność uzwojenia wynosi, więc
0
2
1
,
1
Λ
z
3
L
⋅
=
P. 6.2/. Dla przetwornika cylindrycznego zapisać zależności określające indukcyjności własne i
wzajemne. Założyć, że znane są liczby zwojów oraz współczynniki uzwojeń dla
poszczególnych uzwojeń oraz wymiary geometryczne przetwornika.
Przy wyznaczeniu indukcyjności uzwojeń posłużymy się formułą (6.21).
(
)
)
α
(α
p
cos
Λ
p
k
w
p
k
w
L
0
p
,
p
,
k
n
k
k
n
n
nk
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Dla rozpatrywanego przykładu liczba par biegunów p=1, kąt położenia osi cewki pierwszej wynosi
2
/
1
π
=
α
natomiast kąt położenia osi cewki drugiej zmienia się wraz z położeniem wirnika i wynosi
ϕ
=
α
2
. Indukcyjności można wiec zapisać następująco
(
)
0
2
,1
1
1
1
,
1
Λ
k
w
L
⋅
⋅
=
(
)(
)
(
)
(
)(
)
( )
ϕ
⋅
⋅
=
ϕ
−
π
⋅
⋅
=
=
sin
Λ
k
w
k
w
/2
cos
Λ
k
w
k
w
L
L
0
,1
2
2
,1
1
1
0
,1
2
2
,1
1
1
1
,
2
2
,
1
(
)
0
2
,1
2
2
2
,
2
Λ
k
w
L
⋅
⋅
=
P. 6.3/. Dla przetwornika wydatno biegunowego zapisać zależności określające indukcyjności własne i
wzajemne. Założyć, że znane są liczby zwojów i współczynniki uzwojeń dla poszczególnych
uzwojeń oraz współczynniki aproksymacji funkcji permeancji
)
(
2
cos
λ
λ
)
(
2
0
ϕ
−
⋅
+
≈
ϕ
−
λ
x
x
.
Indukcyjność uzwojeń przetwornika o wydatno biegunowym wirniku jest określona wzorem (6.26)
(
)
(
)
(
)
ϕ
−
+
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
ϕ
2
α
α
p
cos
Λ
2
1
)
α
(α
p
cos
Λ
)(
p
k
w
)(
p
k
w
(
)
(
L
2p
0
p
,
p
,
k
n
k
n
k
k
n
n
nk
gdzie
0
0
0
λ
l
r
µ
π
4
Λ
⋅
⋅
⋅
⋅
=
,
2
0
2p
λ
l
r
µ
π
4
Λ
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Dla rozpatrywanego przykładu liczba par biegunów p=1, kąt położenia osi cewki pierwszej wynosi
2
/
1
π
=
α
natomiast kąt położenia osi cewki drugiej obrócony jest o kąt
π
=
β
względem układu
odniesienia wirnika i zmienia się wraz z jego położeniem
π
+
ϕ
=
α
2
. Indukcyjności można wiec
zapisać następująco
ϕ
⋅
⋅
−
⋅
=
ϕ
−
π
⋅
⋅
+
⋅
=
ϕ
)
2
cos(
Λ
2
1
Λ
)
k
w
(
)
2
cos(
Λ
2
1
Λ
)
k
w
(
)
(
L
2p
0
2
,1
1
1
2p
0
2
,1
1
1
1
,
1
)
sin(
Λ
2
1
Λ
)
k
w
)(
k
w
(
)
2
/2
cos(
Λ
2
1
)
-
/2
(
cos
Λ
)
k
w
)(
k
w
(
)
(
L
2p
0
,1
2
2
,1
1
1
2p
0
,1
2
2
,1
1
1
2
,
1
ϕ
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
=
ϕ
−
π
+
ϕ
+
π
⋅
⋅
+
π
ϕ
−
π
⋅
⋅
⋅
=
ϕ
⋅
+
⋅
=
ϕ
−
π
+
ϕ
+
π
+
ϕ
⋅
⋅
+
⋅
=
ϕ
2p
0
2
,1
2
2
2p
0
2
,1
2
2
2
,
2
Λ
2
1
Λ
)
k
w
(
)
2
cos(
Λ
2
1
Λ
)
k
w
(
)
(
L
19
Zadania
Zad. 6.1/. Podać zależności na indukcyjności własne i wzajemne układu cewek uwzględniając tylko
podstawową harmoniczną rozkładu pola.
a/. b/.
Zad. 6.2/. Porównać indukcyjności własne cewki o
w
zwojach umieszczonych średnicowo w
przetworniku o równomiernej szczelinie powietrznej, wyznaczone bez dodatkowych
uproszczeń o rozkładzie pola oraz z uwzględnieniem tylko podstawowej harmonicznej.
Zad. 6.3/. Wyznaczyć indukcyjność wzajemną dwóch cewek umieszczonych w przetworniku o
równomiernej szczelinie powietrznej o osiach magnetycznych przesuniętych o kąt
o
60
zakładając mono-harmonicznej rozkład pola magnetycznego w szczelinie powietrznej.
Zad. 6.4/. Podać zależności na indukcyjności własne i wzajemne układu cewek uwzględniając tylko
podstawową harmoniczną pola zakładając, że funkcja permeancji jest aproksymowana
zależnością
)
(
2
cos
λ
λ
)
(
2
0
ϕ
−
⋅
+
≈
ϕ
−
λ
x
x
.
a/. b/.
Zad. 6.5/. Podać zależności na indukcyjności własne i wzajemne układu cewek uwzględniając tylko
podstawową harmoniczną pola zakładając, że funkcja permeancji jest aproksymowana
zależnością
)
2
cos(
λ
λ
)
(
2
0
x
x
⋅
+
≈
ϕ
−
λ
.
ϕ
ϕ
a/. b/.
Zad. 6.6/. Obliczyć indukcyjności własne grup cewek przedstawionych na poniższych rysunkach,
zakładając r = 0,05 m, l = 0,1 m,
δ
= 0,0005 m, w
1
= w
2
= 20 (uwzględnić tylko
podstawową harmoniczną rozkładu pola).
a/. b/.
α
4
/
π
=
α
c/. d/.
21
Zad. 6.7/. Wyznaczyć współczynnik uzwojenia dla pierwszej harmonicznej cewki powstałej z
szeregowego połączenia trzech jednakowych cięciwowych cewki przesuniętych o kąt
o
60
,
których kąt rozwarcia wynosi
o
120
.
Zad. 6.8/. Podać zależności na indukcyjności własne grup cewek uwzględniając tylko podstawową
harmoniczną pola. Założyć, że
)
(
2
cos
λ
λ
)
(
2
0
ϕ
−
⋅
+
≈
ϕ
−
λ
x
x
.
1'
2'
1'
2'
1'
2'
1'
2'
a/. b/.
Zad. 6.9/. Podać zależności na indukcyjności własne i wzajemne dla trójfazowych przetworników
(cylindrycznego oraz wydatno biegunowego) z uzwojeniem na wirniku (kąt pomiędzy
osiami magnetycznymi uzwojeń stojana wynosi
o
120
).
1'
2'
3'
4'
1'
2'
3'
4'
a/. b/.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algorytm obliczania parametrow Nieznany
Algorytm obliczania parametrow Nieznany
Lab 05 Obliczenia w C id 257534 Nieznany
Algorytmy obliczen id 57749 Nieznany
Oblicz (2) id 327340 Nieznany
platew obliczenia id 343774 Nieznany
Badanie parametrow charakteryzu Nieznany (2)
obliczenia wytrzymalosciowe id Nieznany
1 Zastosowanie parametru predko Nieznany (2)
2.2.6 Obliczanie parametrów przesyłania danych, 2.2 Przepustowość
OBLICZENIA ZAPOTRZEBOWANIA CIEP Nieznany
cw 12?danie parametrów przetworników
03 Obliczenia parametrów geometrycznych drogi w przekroju podêu+nym
Prawdziwe oblicze zydostwa id 3 Nieznany
pyt1, 1. Przedstawić rozkład pól tolerancji,obliczyć parametry pasowania i po-dać jego pełne oznacze
Identyfikacja parametrow transm Nieznany (2)
instrukcja bhp w przetworstwie Nieznany
więcej podobnych podstron