Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

GRANICA I CIGŠO‘‚ FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

zadania domowe

Zadanie 1. Obliczy¢ nast¦puj¡ce granice funkcji (o ile istniej¡) (bez korzystania z reguªy

de l'Hospitala):

1) lim

x→1

3

√

x

2

− 2

3

√

x + 1

(x − 1)

2

,

2) lim

x→∞

4x

3

− 3x

2

+ 3

2x

2

+ 5x − 1

,

3) lim

x→2

x

2

+ x − 6

x

2

− 2x

,

4) lim

x→ −1

x

2

+ x

x

3

+ 1

,

5) lim

x→3

x

2

+ x − 12

(x − 3)

2

,

6) lim

x→∞

x



√

x

2

+ 3 −

√

x

2

− x



,

7) lim

x→0

ctg 2x
ctg 3x

,

8) lim

x→∞

 4x

2

+ 1

4x

2

− 2



x

2

+2x

,

9) lim

x→0

x sin 3x

ctg

2

x,

10) lim

x→∞

√

4x

2

− x +

3

√

x

3

− 2x

2

+ 2

√

x + 3x

2

+ 2x

,

11) lim

x→0

3 −

√

x

x

,

12) lim

x→∞

 2x

2

+ x

3

2x

2

+ 5



−x

2

,

13) lim

x→ −2

x

2

+ x − 2

x

3

+ 4x

2

+ 4x

,

14) lim

x→ −2

−

x

2

− x − 6

x

2

+ 4x + 4

,

15) lim

x→0

+

√

x

ctg 3x,

16) lim

x→0

x

sin 2x − 2x

,

17) lim

x→−1

+

x

3

+ 3x

2

+ x

x

2

− 1

,

18) lim

x→0

+

arccos (

e

x

− 1) ,

19) lim

x→8

√

9 + 2x − 5

3

√

x − 2

,

20) lim

x→π

sin nx

sin mx

,

21) lim

x→0

ln(3 + x) − ln 3

x

,

22) lim

x→1

tg(x

2

+ x − 2)

x

2

− 1

,

23) lim

x→0

sin 5x − sin 3x

sin x

,

24) lim

x→∞

 x

2

+ 1

3x

2

− 2



x

2

,

25) lim

x→15

3

√

x + 1 −

3

√

16

x − 15

,

26) lim

x→0

 1 +

tgx

1 + sin x



1

sin x

,

27) lim

x→0

ln(sin

2

x + 1)

x

2

,

28) lim

x→0

1 + x

2

ctg

2

x

,

29) lim

x→−2

x

3

+ 3x

2

+ 2x

x

2

− x + 6

,

30) lim

x→0

tgx

1 −

√

1 +

tgx

,

31) lim

x→0

 1 + 2x

1 − x



1
x

,

32) lim

x→0

1 − cos x

x

2

,

33) lim

x→

π

4

1 −

ctg

3

x

2 −

ctgx − ctg

3

x

,

34) lim

x→5

log

5

(x − 4)

x − 5

,

35) lim

x→+0

ctgx · arcsin x,

36) lim

x→∞

x

2

+ 3x

2x

2

− 7

,

37) lim

x→0

√

cos 2x −

√

1 + x sin x

tg

2

(

x
2

)

,

38) lim

x→0

tgx

√

x

,

39) lim

x→2

10x

(x − 2)

4

,

40) lim

x→ −2

x

3

(x + 2)

2

,

1

41) lim

x→2

3x

2 − x

,

42) lim

x→2

3x − 7

4 − 4x + x

2

,

43) lim

x→0

e

sin 5x

−

e

sin 2x

x

,

44) lim

x→0

arctg

sin x

|x|

,

45) lim

x→0

tg sin 5x

ln(2x + 1)

,

46) lim

x→0

sin(sin 2x)

tg(tg3x)

,

47) lim

x→0

ln(cos 2x)

ln(cos x)

,

48) lim

x→0

1 − cos(1 − cos x)

x

4

,

49) lim

x→0

e

√

1−x−1

sin(x − 1)

,

50) lim

x→0

3

2x

− 1

2x

.

Zadanie 2. Zbada¢ ci¡gªo±¢ funkcji:

1) f(x) =







x

2

− 25

x − 5

dla x 6= −5

−10

dla x = −5

,

2) f(x) =

(

sin 4x

x

dla x 6= 0

2

dla x = 0

,

3) f(x) =

(

tgx − sin x

x

3

dla −1 < x < 0

1
2

dla 0 ≤ x < 1

,

4) f(x) =



−




sin

π

2

x




dla |x| 6= 1

x

2

− x + 1

dla |x| > 1 ,

5) f(x) =























5

dla

x < −2

1
2

x

+ 1

dla −2 ≤ x < 0

1 + log

1
2

x +

1
2

dla 0 ≤ x ≤

3
2

−2

2x − 3

dla

x >

3
2

.

Zadanie 3. Wyznaczy¢ warto±ci parametru a, tak, aby funkcja f(x) byªa ci¡gªa w caªej

dziedzinie:

1) f(x) =

(

sin 5x

x + x

2

dla x 6= 0

|a + 1|

dla x = 0

,

2) f(x) =



ln x

dla x ≥ 1

ax − 3

dla x < 1 ,

3) f(x) =







x

2

√

1 + x sin x −

√

cos x

dla x 6= 0

a

dla x = 0

,

4) f(x) =







sin 6x

√

x + 4 − 2

dla x 6= 0

a + 3

dla x = 0

.

2